[摘要]Matlab在線性代數中的應用 一、行列式 二、矩陣運算 三、矩陣初等變換 四、求解線性方程組 一、行列式 練習：求下面的行列式，n為輸入參數 克萊姆法則 用克萊姆法則解方程組 二、矩陣運算 1、矩陣相等 2、矩陣轉置、共軛轉置運算 對稱矩陣：一個矩陣與其轉置矩陣相等 isequal(A,A.’) == 1 反對稱矩陣：一個矩陣與其轉置矩陣的和為零矩陣 isequal(-A,A.’) == 1 3、矩陣加法 4、矩陣減法 5、數與矩陣的乘法 6、矩陣的乘法 練習 7、方陣的跡 8、方陣的冪 練習 9、矩陣多項式 例： 10、方陣的逆 練習 利用伴隨矩陣求逆矩陣 編寫matlab腳本實現用伴隨矩陣求逆矩陣 三、矩陣初等變換 用matlab實現下面的初等變換 行階梯形矩陣 行最簡形矩陣 (reduced row echelon form) 用矩陣的初等行變換來解方程組 繼續化簡,得 最后得到最簡行階梯矩陣，它所對應的線性方程組即是方程組(1-3)。

歸納起來，所謂行階梯形矩陣，是指滿足下列兩個條件的矩陣： (1)如果有零行(元素全為零的行)，則零行全部位于該矩陣的下方； (2)每個非零行(元素不全為零的行)的第一個非零元素(下稱為基準元素)，其前面零的個數隨行數的增加而增加。

當行階梯形矩陣進一步滿足： (1)每行的基準元素取值都是1； (2)每行的基準元素所在列的其余元素都是零。

則稱此矩陣為最簡行階梯形矩陣(或稱行最簡形) 綜上所述，用矩陣初等行變換方法解線性方 程組的步驟是： (1)寫出線性方程組的增廣矩陣，運用矩 陣的初等行變換把它化為行階梯形矩陣(或 進一步化為行最簡形)。

(2)寫出行階梯矩陣(或行最簡形)所表 示的方程組，對它進行求解。

矩陣的標準形 四、求解線性方程組 對于方程Ax＝b，如果A為方陣，則此方程稱為恰定方程。

解恰定方程可以用： (1)克拉默法則(最慢) (2)方陣的逆 (3)Matlab定義的矩陣的除法(最快) 用矩陣除法求解求解恰定方程 解 超定 方程組 對于方程Ax=b，rank(A)=min(r,c),其中r和c分別時矩陣A的行數和列數，并且等式的數量多于未知數的數量(即r>c)時，該方程組稱為超定方程組。

超定方程組沒有精確解。

在matlab中，求超定方程組的解時，使用矩陣左除或矩陣右除得到使平均誤差e=A*x-y最小的解，該解被稱為最小二乘解,(符合數據擬合的要求) 練習：多項式擬合的細節知識 解 欠定 方程組 在方程組A*x=b中，如果rank(A)=min(r,c),其中r和c分別時矩陣A的行數和列數，并且等式的數量少于未知數的數量(即r

欠定方程組存在無窮多個解，利用matlab可以求出其中的兩個解。

一個解利用除法得到，該解在所有的解中0元素最多 另一個解通過計算x=pinv(A)*b得到，該解的長度(也叫范數)小于所有其他的解，因此又叫最小范數解。

矩陣的秩 矩陣和向量的范數 矩陣的條件數 特征值與特征向量 特征值與特征向量求法 并且當A可逆時，有 定理 矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是 解 Matlab中：A([i,j],:) = A([j,i],:) Matlab中：A(i,:) = k*A(i,:) Matlab中：A(i,:) =A(i,:) + k*A(j,:) ~ ~ ~ ~ ~ r3?r4 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 1 1 ?2 1 4 0 2 ?2 2 0 0 ?5 5 ?3 ?6 0 3 ?3 4 ?3 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 r4?2r3 r1?r2 r2?r3 r3?2r1 r4?3r1 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 0 0 0 1 ?3 r2?2 r3?5r2 r4?3r2 r3?2 r1?r2 r2?r3 行階梯形矩陣 行最簡形矩陣 1 0 ?1 0 4 0 1 ?1 0 3 0 0 0 1 ?3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ?3 經過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元，

總結

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