文章目錄

• 1. 參數(shù)選擇
• • 1.1 The Uniformly Spaced Method
  • 1.2 The Chord Length Method
  • 1.3 The Centripetal Method
• 2. 節(jié)點(diǎn)向量生成
• • 2.1 Knot Vector Generation
  • 2.2 The Universal Method
• 3. 曲面的參數(shù)與節(jié)點(diǎn)向量
• 4. 線性方程組的求解
• 5. 曲線插值
• 6. 曲線逼近
• 7. 曲面插值
• 8. 曲面逼近

1. 參數(shù)選擇

參數(shù)選擇的目的是：對(duì)于給定數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_0,D_1,...,D_n$，在曲線的定義域內(nèi)找到滿足條件$D_k=C(t_k),0<=k<=n$的$n+1$個(gè)參數(shù)點(diǎn)。
參數(shù)的選擇會(huì)影響曲線的形狀，進(jìn)而影響曲線的參數(shù)化。

1.1 The Uniformly Spaced Method

區(qū)間為[0,1]時(shí):

區(qū)間為[a,b]時(shí):

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)不是均勻分布時(shí)，使用等間距參數(shù)可能會(huì)產(chǎn)生不規(guī)則的形狀，例如大凸起、尖峰和環(huán)路。

1.2 The Chord Length Method

如果一條插值曲線非常接近數(shù)據(jù)多邊形，則相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的曲線段長度將非常接近這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的弦長，并且插值曲線的長度也將非常接近數(shù)據(jù)多邊形的總長度.
計(jì)算公式：
區(qū)間為[0,1]時(shí):


區(qū)間為[a,b]時(shí):

弦長方法通常來說表現(xiàn)不錯(cuò)，但有時(shí)候，當(dāng)弦長較長時(shí)，會(huì)導(dǎo)致曲線的凸出量較大，如下圖所示：

1.3 The Centripetal Method

向心法是弦長法的擴(kuò)展，相鄰點(diǎn)的距離通過$|D_k?D_{k?1}{|}^a$衡量，其中$a>0$.
計(jì)算公式如下：



討論:
當(dāng)$a=1$時(shí)，向心法退化為弦長法；

當(dāng)$a<1$時(shí)，$|D_k?D_{k?1}{|}^a<|D_k?D_{k?1}|$，較長弦（即長度>1）對(duì)數(shù)據(jù)多邊形長度的影響減小，而較短弦（即長度<1）對(duì)數(shù)據(jù)多邊形長度的影響增加。由于這個(gè)特點(diǎn)，向心法比弦長法更能處理尖峰。
效果圖如下：

但向心法也不一定效果比其他兩種方法好，如下圖所示，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較為對(duì)稱時(shí)，向心法的效果不如等距法好：

2. 節(jié)點(diǎn)向量生成

2.1 Knot Vector Generation

得到一組參數(shù)后，就可以生成一個(gè)節(jié)點(diǎn)向量.
假設(shè)得到的$n+1$個(gè)參數(shù)分別為：$t_0,t_1,...,t_n$，對(duì)于$p$次B樣條曲線，需要$m+1$個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中$m=n+p+1$. 如果曲線為Clamped，則$u_0=u_1=...=u_p=0，u_{m?p}=u_{m?p+1}=...=u_m=1$，剩余的$n?p$個(gè)節(jié)點(diǎn)可采用均勻分布或者其他方法。

均勻分布：

等間距的節(jié)點(diǎn)向量并不需要知道參數(shù)$t$，而且生成起來非常簡單。但是，不建議使用這種方法，因?yàn)槿绻麑⑵渑c弦長法一起用于全局插值，則線性方程組將是奇異的。

de Boor提出的參數(shù)平均法：

2.2 The Universal Method

在前面討論的方法中，都是先確定參數(shù)，然后生成節(jié)點(diǎn)向量。
Choong-Gyoo Lim提出了一種用等間距節(jié)點(diǎn)來計(jì)算參數(shù)的通用方法。
計(jì)算方法如下：
首先定義均勻分布的節(jié)點(diǎn)向量：
由節(jié)點(diǎn)向量可以得到n+1個(gè)B樣條基函數(shù)；
接下來選擇使每個(gè)基函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為參數(shù)。
如下圖所示，黃色點(diǎn)即為選擇的參數(shù)點(diǎn)：

3. 曲面的參數(shù)與節(jié)點(diǎn)向量

由$e+1$行，$f+1$列控制點(diǎn)定義的，次數(shù)為(p,q)的B樣條曲面如下：

假設(shè)存在$m+1$行，$n+1$列數(shù)據(jù)點(diǎn)，$D_{ij}$，其中，$0<=i<=m$，$0<=j<=n$，從而$u$方向上需要$m+1$個(gè)參數(shù)，$s_0,...,s_m$，$v$方向上需要$n+1$個(gè)參數(shù)，$t_0,...,t_n$，使得曲面上的點(diǎn)$S(s_c,t_d)$與數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_{cd}$相對(duì)應(yīng)。

參數(shù)計(jì)算方法：

分別對(duì)每一列數(shù)據(jù)點(diǎn)，如第$j$列，$D_{0,j},D_{1,j},...,D_{m,j}$計(jì)算$m+1$個(gè)參數(shù)，得到參數(shù)$u_{0,j},u_{1,j},...,u_{m,j}$，如下圖所示，

得到$u$方向的參數(shù)矩陣后，對(duì)每一行求平均，得到$s_0,s_1,...,s_m$.

同理，分別對(duì)每一行數(shù)據(jù)點(diǎn)，如第$i$行，$D_{i,0},D_{i,1},...,D_{i,n}$，計(jì)算$n+1$個(gè)參數(shù)，得到參數(shù)$v_{i,0},u_{i,1},...,u_{i,n}$;
得到$v$方向的參數(shù)矩陣后，對(duì)每一列求平均，得到$t_0,t_1,...,t_n$.

算法如下：

接下來，
由參數(shù)值$s_0,s_1,...,s_m$和次數(shù)$p$，可以得到$u$方向上的節(jié)點(diǎn)向量$U$;
由參數(shù)值$t_0,t_1,...,t_n$和次數(shù)$q$，可以得到$v$方向上的節(jié)點(diǎn)向量$V$.

4. 線性方程組的求解

假設(shè) $n$×$n$的系數(shù)矩陣$A$，$n$×$h$的常數(shù)項(xiàng)矩陣$B$，待求解的$n$×$h$矩陣$X$定義如下：

并且滿足如下關(guān)系：

LU分解：
將矩陣$A$分解為：$A=L.U$，其中$L$為下三角矩陣，$U$為上三角矩陣.
如圖所示：

代入原方程，可得：
$$B=(L.U).X$$

$$B=L.(U.X)$$

令$Y=U.X$，得，
$$B=L.Y$$

因而，方程$B=A.X$的求解可分為兩步：

由方程$B=L.Y$求解$Y$.

由方程$Y=U.X$求解$X$.

正向代換：
$$B=L.Y$$
計(jì)算過程：




算法如下：

反向代換：
$$Y=U.X$$
計(jì)算過程：





算法如下：

5. 曲線插值

問題描述：給定一組$n+1$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_0,D_2,...,D_n$和次數(shù)$p$，求一條由$n+1$個(gè)控制點(diǎn)定義的$p$次B樣條曲線，該曲線按給定順序通過所給的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

求解：
假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和控制點(diǎn)均為$s$維空間中的點(diǎn)，則有，





求解得到矩陣$P$后便可得到控制點(diǎn)，從而得到所求的B樣條插值曲線。

算法：
一列一列求解$P$


插值效果圖：

注意：
如果節(jié)點(diǎn)是通過將連續(xù)$p$個(gè)參數(shù)求平均的方式獲得的，則矩陣$N$是正定的，并且有：當(dāng)$|i?k|>=p$時(shí)，$N_{i,p}(t_k)=0$（de Boor,1978證明）.這表明上述算法得到的線性方程組可以用高斯消元法求解。

參數(shù)和節(jié)點(diǎn)對(duì)所構(gòu)建曲線的影響:
如果弦長分布大致相同，那么所有四種參數(shù)選擇方法的性能應(yīng)該是相似的。此外，由于具有均勻節(jié)點(diǎn)的B樣條基函數(shù)的最大值分布非常均勻，因此通用方法的性能應(yīng)該與均勻方法相似。同樣，向心法的工作原理應(yīng)該類似于弦長法，因?yàn)榍罢呤呛笳叩难由臁Ｈ欢?#xff0c;當(dāng)弦長分布發(fā)生劇烈變化時(shí)，情況并非總是如此。
如下圖所示：

參數(shù)和節(jié)點(diǎn)的關(guān)系：

與弦長法和向心法相比，通用法得到的參數(shù)和節(jié)點(diǎn)分布更均勻。此外，從向心法得到的參數(shù)和結(jié)使較短（resp，longer）的弦拉伸得更長（resp，short），因此分布更均勻。因此，用向心法得到的弦長曲線，在曲線上不會(huì)產(chǎn)生較大的晃動(dòng)。

次數(shù)的影響：

等間距法和通用法通常能很好地跟蹤較長的弦，但對(duì)于較短的弦則存在問題。因?yàn)閰?shù)的間距相等或幾乎相等，所以對(duì)于較短的弦，插值曲線必須拉伸得稍微長一點(diǎn)。結(jié)果，我們看到了峰和環(huán)。高次曲線會(huì)使這種情況變得更糟，因?yàn)楦唠A曲線提供了更多的自由度。

至于弦長法，上面的圖表明，對(duì)于較長的弦，尤其是后面或前面有許多短弦的弦，可能會(huì)出現(xiàn)大的凸起，因此，弦長法并不適用。階數(shù)對(duì)上述插值曲線的形狀沒有顯著影響。

由于向心法是弦長法的擴(kuò)展，它們具有相同的特點(diǎn)。然而，由于向心法具有使兩個(gè)相鄰參數(shù)之間的距離趨于均勻的趨勢(shì)，它也具有均與法和通用法的特點(diǎn)。例如，生成的插值曲線緊跟長弦，當(dāng)階數(shù)增加時(shí)，短弦可能會(huì)出現(xiàn)循環(huán)。事實(shí)上，上述結(jié)果表明向心法和通用法的計(jì)算結(jié)果是相似的。

插值的全局性：
改變單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置會(huì)完全改變插值曲線的形狀

6. 曲線逼近

問題描述：
給定一組$n+1$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_0,D_2,...,D_n$和次數(shù)$p$，控制點(diǎn)個(gè)數(shù)參數(shù)$h$，求一條由$h+1$個(gè)控制點(diǎn)定義的$p$次B樣條曲線，該曲線滿足以下兩個(gè)條件：

曲線經(jīng)過第一個(gè)和最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_0,D_n$.

該曲線在最小二乘意義下逼近數(shù)據(jù)多邊形.

求解：
1.曲線模型：


2.最小二乘意義下的目標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)：






3.對(duì)單個(gè)控制點(diǎn)$P_g$求導(dǎo):






令導(dǎo)數(shù)為0可得，

4.矩陣形式：

又由，


可得：

求解方程得到$P$，即可得到控制點(diǎn)，從而得到所求曲線。

算法：

次數(shù)和控制點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)所構(gòu)建曲線的影響:

低次曲線通常不能很好地逼近數(shù)據(jù)多邊形,次數(shù)越高的曲線產(chǎn)生的結(jié)果越好；同樣，控制點(diǎn)越多，逼近曲線的靈活性就越高。
但并不是曲線次數(shù)越高，控制點(diǎn)個(gè)數(shù)越多就好，因?yàn)槿直平话惚热植逯凳褂酶俚目刂泣c(diǎn)。如果控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，全局逼近就變成了全局插值，就可以用全局插值了！至于次數(shù)，只要生成的曲線能捕捉到數(shù)據(jù)多邊形的形狀即可。
逼近的全局性:
更改數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置會(huì)導(dǎo)致整個(gè)曲線發(fā)生變化。

7. 曲面插值

問題描述：
給定一個(gè)由$(m+1)\times (n+1)$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_{ij}(0<=i<=m,0<=j<=n)$組成的網(wǎng)格，次數(shù)$(p,q)$，求一個(gè)由$(m+1)\times (n+1)$控制點(diǎn)定義的，按給定順序經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的B樣條曲面。

推導(dǎo)過程：

控制點(diǎn)的求解分以下兩步：

對(duì)于矩陣$D$的每一列數(shù)據(jù)點(diǎn)，如第$d$列，由次數(shù)$p$，參數(shù)$s_0,s_1,...s_m$，數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_{0,d},D_{1,d},...,D_{m,d}$，求得第$d$列的控制點(diǎn)$Q_{0,d},Q_{1,d},...,Q_{m,d}$，得到$m+1$行，$n+1$列的矩陣$Q$；

對(duì)于矩陣$Q$的每一行數(shù)據(jù)點(diǎn)，如第$i$行，由次數(shù)$q$，參數(shù)$t_0,t_1,...t_n$，數(shù)據(jù)點(diǎn)$Q_{i,0},Q_{i,1},...,Q_{i,n}$，求得第$i$行的控制點(diǎn)$P_{i,0},P_{i,1},...,P_{i,n}$.

算法如下：

由$m+1$行，$n+1$列的控制點(diǎn)矩陣$P_{ij}$，次數(shù)$(p,q)$，節(jié)點(diǎn)向量$U,V$，可以得到所求的B樣條曲面。
插值效果圖：

插值的全局性：
由于插值曲面是通過m+n+2條全局曲線插值得到的，因此這種曲面插值是全局的。

8. 曲面逼近

問題描述：
給定一組$(m+1)\times (n+1)$個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)$D_{ij}(0<=i<=m，0<=j<=n)$，次數(shù)$(p,q)$，且滿足$m>e>=p>=1$和$n>f>=q>=1$的$e$和$f$，找到由$(e+1)\times (f+1)$控制點(diǎn)$P_{ij}$$(0<=i<=e，0<=j<=f)$定義的，次數(shù)為$(p,q)$的B樣條曲面，該曲面按給定的順序逼近于數(shù)據(jù)點(diǎn)網(wǎng)格。

求解：
$u$方向的$m+1$個(gè)參數(shù)分別為$s_0,s_1,...,s_m$，$v$方向上的$n+1$個(gè)參數(shù)分別為$t_0,t_1,...,t_n$.


誤差函數(shù)：

對(duì)每個(gè)控制點(diǎn)求偏微分：

從而可以得到$(e+1)\times (f+1)$個(gè)非線性方程，求解非線性方程組非常耗時(shí)。

我們可以找到一個(gè)不使函數(shù)$f$最小化的合理的解，而不是尋求最優(yōu)解。

方法：
采用和曲面插值類似的方法，控制點(diǎn)的求解分為以下兩步：

對(duì)$D$中的每一列$m+1$數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行曲線逼近，分別得到$e+1$個(gè)中間數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于共有$n+1$列，從而可以得到$(e+1)\times (n+1)$的中間數(shù)據(jù)點(diǎn)網(wǎng)格$Q$；

對(duì)$Q$中的每一行$n+1$數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行曲線逼近，分別得到$f+1$個(gè)控制點(diǎn)，共有$e+1$行，從而可以得到$(e+1)\times (f+1)$的控制點(diǎn)矩陣$P$.

算法如下：

由計(jì)算得到的$(e+1)\times (f+1)$控制點(diǎn)矩陣$P_{ij}$，次數(shù)$(p,q)$，節(jié)點(diǎn)向量$U$，$V$，可以得到給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的近似B樣條曲面.
效果圖如下：

盡管該算法不是最小化函數(shù)$f$，不是一個(gè)最優(yōu)算法，它仍適合于許多應(yīng)用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Interpolation and Approximation的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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