定義

近似算法是一種用來處理NP-完全優化問題的一種方法。

特點

• NP-難問題
• 在大多數情況下是多項式算法
• 近似比

近似比

$\rho (n)\ge max(\frac{C}{C^{?}},\frac{C^{?}}{C})$
第一項為求極小值時，第二項為求極大值時。
近似比越大，算法性能越差。

近似策略/近似結構

優化問題的近似策略是一種近似算法，它的輸入不僅是問題的一個實例，而且是一個值$?$，因此對于任何確定的$?$，該策略是一個$(1+?)$-近似算法。

PTAS

多項式時間近似策略
對任意確定的$?>0$，運行時間與輸入算例的大小$n$呈多項式關系。

FPTAS

完全多項式時間近似策略
對任意確定的$?>0$，運行時間與輸入算例的大小$n$和$1/?$都呈多項式關系。

例1.頂點覆蓋問題

目標

對給定無向圖，尋找一個最小的頂點集合使之滿足“頂點覆蓋”。

算法

證明

• (1)多項式性
  已證明其在多項式時間內運行。
• (2)正確性
  算法返回的集合C中的頂點是“頂點覆蓋”，因為該算法的循環直到所有的邊的某一頂點都存在集合C中才結束。
• (3)近似度
  $C^{?}$:精確解集合
  $A$: 算法第四行被挑選的邊的集合
  $C$:近似算法解
  由于$A$中的邊都是不連通的，即$A$中不存在兩條邊被$C^{?}$中的同一個頂點覆蓋
  $$|C^{?}|\ge |A|$$
  $$|C|=2|A|$$
  由以上兩式推出
  $$|C|=2|A|\le 2|C^{?}|$$

例2.滿足三角不等式的旅行商問題

TSP是NP-完全問題

目標

假設有一個旅行商人要拜訪N個城市，他必須選擇所要走的路徑，路徑的限制是每個城市只能拜訪一次，而且最后要回到原來出發的城市。路徑的選擇目標是要求得的路徑路程為所有路徑之中的最小值。

算法

證明

(1)多項式性
(2)正確性
(3)近似度
$H^{?}$:精確解
$T$:最小生成樹
$W$:T的"full work"
$H$:近似解
$$c(T)\le c(H^{?})$$
$$c(W)=2c(T)$$
以上兩式推出
$$c(W)\le 2c(H^{?})$$
$$c(H)\le c(W)$$
可以推出
$$c(H)\le 2c(H^{?})$$

哈密頓環

NP-完全問題

近似難

近似難有解就證明了$P=NP$
如果$P!=NP$，則對于任意常數$\rho >1$，對于一般的旅行商問題，不存在近似比為$\rho$的多項式時間近似算法。
證明過程
(1)先建立全圖
$$E^{‘}=\{(u,v):u,v\in Vandu\ne v\}$$
(2)對所有的邊加上權值，原來的邊權值為1
$$c(u,v)=\{\begin{array}{l}n,if(u,v)\in E\\ \rho |V|+1,otherwise\end{array}$$
(3)如果原圖中有哈密頓環，把H環作為正確解$|V|$，否則$>\rho |V|$。

例3. 子集和問題

目標

在$S$中尋找合適的子集，子集中元素的和為$t$。

算法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Approximation method(近似算法)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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