題目

設(shè) $(x_1,x_2,...,x_{1}0)$ 為 $(1, 2, …, 10) 的一個排列，且滿足
$$\sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|+|x_i+i|)=160$$
則這樣的排列有多少個？
題目來源為：2020年百子菁英計劃青少年數(shù)學愛好者沙龍——S6的提供題第 $6$ 題。

分析

本題主要是在求和中有絕對值，因此我們要考慮如何將絕對值符號去了。通過觀察，帶絕對值的有兩項：
1、$|x_i?i|$；
2、$|x_i+i|$。

Solution

由于 $x_i>0,i>0$，因此 $|x_i+i|$ 可以變?yōu)?$x_i+i$。這樣原表達式變?yōu)?br /> $$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|+|x_i+i|) \\ =\sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|+x_i+i) \\ =\sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|)+\sum _{i=1}^{10}{x}_i+\sum _{i=1}^{10}i。 \end{gathered}$$
這樣，我們可以計算 ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i$ 和 ${\sum }_{i=1}^{10}i$。
根據(jù)題目給出條件，
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{10}{x}_i=1+2+...+10=10?11/2=55 \\ \sum _{i=1}^{10}i=1+2+...+10=10?11/2=55 \end{gathered}$$
推導出
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|+|x_i+i|) \\ =\sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|)+110 \\ ? \\ \sum _{i=1}^{10}(|x_i?i|)=160?110=50(1) \end{gathered}$$
下面我們對這個化簡后的式子 $(1)$ 進行討論即可。
根據(jù)題目給定的條件，$x_i\in [1,10]$ 同時 $i\in [1,10]$，因此 $x_i$ 的排列為 $10!$，$i$ 的排列為 $10!$，這樣所有的排列為 $(10!)?(10!)=(10!{)}^2$。
我們發(fā)現(xiàn)式 $(1)$ 總和為 $50=10?5$，也就是構(gòu)造 $10$ 個 $5$ 就可以達到目的。這樣我們有：
1、$10?5=5$；
2、$9?4=5$；
3、$8?3=5$；
4、$7?2=5$；
5、$6?1=5$；
6、$5?10=?5$；
7、$4?9=?5$；
8、$3?8=?5$；
9、$4?9=?5$；
10、$5?10=?5$；
也就是當 $x_i$ 中 $5$ 個大于 $5$ 的數(shù)都取正號，$5$ 個不大于 $5$ 的數(shù)字都取負號，同時當 $i$ 中 $5$ 個大于 $5$ 的數(shù)取正號，$5$ 個不大于 $5$ 的數(shù)取負號時，${\sum }_{i=1}^{10}(|x_i?i|)=50$。
因此，要讓式 $(1)$ 成立我們可以得到兩個結(jié)果：
1、當 $1\le i\le 5$ 同時 $6\le x_i\le 10$；
2、當 $6\le i\le 10$ 同時 $1\le x_i\le 5$。
這樣，我們可以得到最終答案為 $5!?5!=(5!{)}^2=120^2=14400$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2020年百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙——S6的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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