1.2 極限的性質【極限】

1.2.1 唯一性

極限的唯一性

引入

假設警察逮捕罪犯，把犯人追到了懸崖邊上，那么犯人只能在懸崖邊束手就擒，這個時候懸崖邊是犯人逃跑的極限位置，別無去處，位置唯一。

考試或比賽的時候都努力爭取第一名，第一名是能夠取得的最好的名次，第一名的名次是唯一的，不可能有另外的名次比第一名的成績更靠前，也不可能兩個不同的成績都被評為第一名。

絕對零度（英文：The Absolute Zero），是熱力學的最低溫度，熱力學溫標的單位是K（開爾文），絕對零度就是0K（約為-273.15℃或-459.67℉），絕對零度在現實中是無法達到的，只是理論的下限值，在此溫度下，物體分子沒有動能，在一個特定的物理狀態下不可能同時存在兩個不同的溫度，即溫度降低的極限值是唯一的。

唯一性

性質：如果數列或函數極限存在，那么極限唯一。

證明

反證法（數列與函數同理，以數列為例證明）

假設 $\left\{a_n\right\}$ 是一個收斂數列，并且有兩個極限$K$和 $\mathrm{L}$ ，那么根據極限的定義：

對任意$\epsilon >0$ , 存在 $N_1\in \mathbb{N},N_2\in \mathbb{N}$ , 使得 $n>N_1?\left|a_n?K\right|<\frac{\epsilon }{2},n>N_2?\mid a_n?L\mid <\frac{\epsilon }{2}$

現在取 $N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ , 則 $n>N?\left|a_n?K\right|<\frac{?}{2}$ 并且 $\left|a_n?L\right|<\frac{?}{2}$

根據三角不等式， $|K?L|\le \left|K?a_n\right|+\left|a_n?L\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

上式對于所有的 $\epsilon >0$ 都成立, 故 $|K?L|=0,K=L$

1.2.2 有界性

引入

假如一個人蹦極：

設地面的高度是$0$，跳臺的高度是$H$，下落的時間變量是 $t$，從跳臺到最低點的實際時間是$T$，從跳臺上下落的距離是$s(t)$，顯然$s(t)$的值不會超過跳臺的高度$H$，否則就撞地上了，$s(t)$的取值范圍是 $[0,H)$，這個取值范圍$[0,H)$是可能的最大范圍。實際運動到最低點下落的距離假設是$h$，即
$$\underset{t\to T}{\lim }s(t)=h<H$$
這里的$H$就是極限取值的上界。

有界性

極限的有界性

(數列) 如果數列$\left\{x_n\right\}$收斂, 那么數列$\left\{x_n\right\}$一定有界。

例如：數列$x_n=\frac{n+1}{n}$，數列極限為$1$，$x_n$的上界是$2$，下界是$1$。

注意 反之不成立, 反例為 $x_n=(?1{)}^n$。顯然，該數列有界但不收斂，由此可得有界是數列收斂的必要條件而非充分條件，無界數列一定發散，但發散數列不一定無界。

(函數) 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在, 則$f(x)$在$x_0$ 某去心鄰域有界 (即局部有界)。

注意 反之不成立, 反例為$f(x)=\sin \frac{1}{x}$，該函數在$x=0$的去心鄰域有界，但它在 $x=0$處的極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$不存在.

綜上：收斂必有界，有界未必收斂。

1.2.3 保號性

引入

通俗的講，保號性就是數列項數$n$趨于無窮的過程中，或函數自變量在接近某一點時，數列項或函數值的正負號會變得和極限值的正負號一樣。

定義

(數列) 設 $\lim x_n=A$.

如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 則存在$N>0$, 當 $n>N$ 時, $x_n>0$(或 $x_n<0$) ;

如果存在 $N>0$, 當$n>N$ 時, $x_n?0$(或 $x_n?0$ ), 則 $A?0$ (或 $A?0$ ).

(函數) 設 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 則存在 $\delta >0$, 當 $x\in \stackrel{?}{U}\left(x_0,\delta \right)$ 時, $f(x)>0$( 或 $f(x)<0$) .

如果存在 $\delta >0$, 當 $x\in \stackrel{°}{U}\left(x_0,\delta \right)$時, $f(x)?0$ (或 $f(x)?0$ ), 那么 $A?0$ (或 $A?0$ ).

如果取$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ), 那么 $A?0$ (或 $A?0$ )此處依然取等。

注意

上述結論 1. 中是嚴格不等號 ($>$ 或 $<$，不包含 $=$) 。

如下圖所示 $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$，數列$x_n=\frac{sin(n)}{n}$是此函數上的點，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{sin(n)}{n}=0$，$x_n$在會在正負之間不斷變化，不會在某一個$N$之后$x_n$大于$0$或小于$0$。

如下如所示，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$，$x\in \stackrel{°}{U}\left(0,\delta \right)$函數值不具有保號性。

上述結論 2. 中是非嚴格不等號 ($?$ 或 $?$) ，不論數列項或函數值是否取到$0$，極限值都可以取到$0$。

如果結論 2. 中取$x_n>0$(或 $x_n<0$ )，$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，則 $A?0$ (或 $A?0$ )，極限依然取等號。

考研真題

極限保號性的應用

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(1995, 數三) 設 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}=?1$ , 則在點 $x=a$ 處
(A）$f(x)$ 的導數存在, 且 $f^{\prime }(a)=0$ .
(B) $f(x)$ 取得極大值.
(C）$f(x)$ 取得極小值.
(D) $f(x)$ 的導數不存在.

【解 1】極限保號性的應用

因為 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}=?1<0$ ，由極限保號性知，存在 $\delta >0$ , 當 $x\in \stackrel{°}{U}(a,\delta )$ 時，
$$\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}<0$$
又因為當 $x\in \stackrel{°}{U}(a,\delta )$ 時, $(x?a{)}^2>0$ , 則 $f(x)?f(a)<0$ , 即 $f(x)<f(a)$，由極值的定義得在點 $x=a$ 處 $f(x)$ 取得極大值.

【解 2】取特值法

令 $f(x)=?(x?a{)}^2$ , 顯然 $f(x)$ 滿足題設條件, 但在 $x=a$ 處 $f(x)$ 可導且 $f^{\prime }(a)=0$ , 取極大值, 則選項 (A) ? (D) 都不正確, 故應選 (B).

總結

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