對某個多項式函數，已知有給定的k?+?1個取值點：

其中

對應著自變量的位置，而

對應著函數在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的xj都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

其中每個

為拉格朗日基本多項式(或稱插值基函數)，其表達式為：

拉格朗日基本多項式

的特點是在

上取值為1，在其它的點

上取值為0。

范例

假設有某個二次多項式函數

，已知它在三個點上的取值為：

要求

的值。

首先寫出每個拉格朗日基本多項式：

然后應用拉格朗日插值法，就可以得到

的表達式(

為函數

的插值函數)：

此時代入數值

就可以求出所需之值：

。

證明

存在性

對于給定的k+1個點：

，拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點

取值為1，而在其他點取值都是0的多項式

。這樣，多項式

在點

取值為

，而在其他點取值都是0。而多項式

就可以滿足

在其它點取值為0的多項式容易找到，例如：

它在點

取值為：

。由于已經假定

兩兩互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在

取值為1，而在其他點取值都是0的多項式”：

這就是拉格朗日基本多項式。

唯一性

次數不超過k的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數不超過k的拉格朗日多項式：

和

，它們的差

在所有k+1個點上取值都是0，因此必然是多項式

的倍數。因此，如果這個差

不等于0，次數就一定不小于k+1。但是

是兩個次數不超過k的多項式之差，它的次數也不超過k。所以

，也就是說

。這樣就證明了唯一性

幾何性質

拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式

(由某一組

確定)可以看做是由次數不超過n的多項式所組成的線性空間：

的一組基底。首先，如果存在一組系數：

使得，

，

那么，一方面多項式P是滿足

的拉格朗日插值多項式，另一方面P是零多項式，所以取值永遠是0。所以

。

這證明了

是線性無關的。同時它一共包含n+1個多項式，恰好等于

的維數。所以

構成了

的一組基底。

拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的(都是n次多項式)。

優點與缺點

拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣牛頓插值法來代替。此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數可能會很高，因此具有數值不穩定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數值，但在附近卻會和“實際上”的值之間有很大的偏差(如右下圖)龍格現象，解決的辦法是分段用較低次數的插值多項式。

重心拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進。在拉格朗日插值法中，運用多項式

拉格朗日插值法的數值穩定性：如圖，用于模擬一個十分平穩的函數時，插值多項式的取值可能會突然出現一個大的偏差(圖中的14至15中間)

可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：

上面的表達式可以簡化為：

于是拉格朗日插值多項式變為：

即所謂的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改進拉格朗日插值公式。它的優點是當插值點的個數增加一個時，將每個

都除以

，就可以得到新的重心權

，計算復雜度為

，比重新計算每個基本多項式所需要的復雜度

降了一個量級。

將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數

插值，可以得到：

因為

是一個多項式。

因此，將

除以

后可得到：

這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式。它繼承了(1)式容易計算的特點，并且在代入x值計算

的時候不必計算多項式

切比雪夫節點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函數，使得插值點個數趨于無窮時，最大偏差趨于零切比雪夫節點進行插值可以達到極佳的數值穩定性。第一型拉格朗日插值是向后穩定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩定的，并且勒貝格常數很小

參考來源

69: 59–67.

(英文)E. Meijering.?A chronology of interpolation: From ancient astronomy to modern signal and image processing,. Proceedings of the IEEE: 323.

(英文)Julius Orion Smith III.?Lagrange_Interpolation. Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA),?Stanford University.

22?(5): 447–453.

The numerical stability of barycentric Lagrange Interpolation. IMA Journal of Numerical Analysis. 2004,?24?(4): 547–556.

(中文)李慶揚，王能超，易大義. 《數值分析》第4版. 清華大學出版社. 2001.?ISBN?7-302-04561-5.

(中文)馮有前. 《數值分析》. 清華大學出版社. 2001.?ISBN?7-810-82495-3.

(中文)拉格朗日插值多項式. 太原理工大學.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的拉格朗日插值的优缺点_拉格朗日插值法(图文详解)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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