回溯算法（全排列、N皇后問題）

暴力窮舉，這是不可避免，因為回溯法沒有重復子結構，所以其時間復雜度大于等于O(N!)；

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前言

本文章內容部分參考公眾號labuladong關于回溯算法的講解，僅為筆者日后復習，或讀者參考學習，無商業用途。

實質：決策樹的遍歷

三要素

路徑：當前已經做出的決策；

選擇列表：當前可以做出的決策；

結束條件：到達決策樹底層，一般就是選擇列表為空；

回溯遞歸框架

result = [] def backtrack(路徑, 選擇列表):if 滿?結束條件:result.add(路徑)returnfor 選擇 in 選擇列表:做選擇backtrack(路徑, 選擇列表)撤銷選擇

核心：for循環中的遞歸，遞歸前做出決策，遞歸后撤銷決策

經典例題

全排列

問題：n個非重復數字的全排列？

代碼實現

回溯框架

/* full permutation track: track path nums: selection list */ void permute(vector<int> track, vector<int> &nums){/* end condition */if(track.size() == nums.size()){result.push_back(track);/* result is the global vector */ }/* backtrack *//* layer one have nums.size() paths */for(auto n :nums){/* make sure the chioce valid */if(find(track, n)){continue;}/* make choice */track.push_back(n);/* to down recursion */permute(track, nums);/* undo choice */track.pop_back();} }

判斷元素是否在選擇列表中；
這樣判斷時間復雜度是O(n)，當然我們可以通過set的方式記錄，用空間換時間，實際上，我們還可以使用交換的方式；

/* make sure the chioce valid */ bool find(vector<int> track, int n){for(auto t : track){if(t == n){return true;}}return false; }

打印

/* vector二維數組打印 */ void printVec(vector<vector<int>> &obj){for(auto item : obj){for(auto it : item){cout << " " << it;}cout << endl;} }

主函數

vector<vector<int>> result; int main(){vector<int> nums;nums.assign({2, 3, 5, 4});permute(vector<int>(), nums);printVec(result);getchar();return 0; }

全排列經典算法（交換寫法）

思路
對{2, 3, 4}進行全排列：

保持2不變，對3、4全排列；

保持3不變，對4進行全排列；

得出2， 3， 4；

交換3、4；

保持4不變，對3進行全排列；

總結就是：
每個數依次打頭，求剩下的n-1個數的全排列，而n-1個數的全排列由n-2個數推出…直到一個數的全排列，開始回溯；

/* nums：個位數的數組(假設從 1-9)，eg：{2, 3, 4}； obj: 記錄全排列結果； pinNum：pinNum+1表示當前固定的數字個數，從1開始； len：總個位數，res的長度； */ void permutation(vector<int> &nums, vector<vector<int>> &res, int pinNum, int len){/* 判斷是否到達最后一個數 */if(pinNum+1 == len){/* 將當前排列記錄到obj */res.push_back(nums);return;}/* pinNum's full permutation */for(int i=pinNum; i<len; i++){swap(nums[i], nums[pinNum]);permutation(res, obj, pinNum+1, len);swap(nums[i], nums[pinNum]);} }

組合

代碼實現：

class Solution {vector<vector<int>> res; public:void combine(vector<int> track, int pinNum, int n, int k){/* end condition */if(track.size() == k){res.push_back(track);return ;}/* begin num */for(int i = pinNum; i <= n; i++){track.push_back(i);combine(track, i+1, n, k);/* i+1而不是pinNum+1，因為自身不能選兩次 */track.pop_back();}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {combine(vector<int>(), 1, n, k);return res;} };

N皇后問題

大體意思：

思路

套用框架，明確三要素路徑、選擇列表和結束條件；

當Queen成功擺放完第N行結束遞歸；

代碼實現

聲明全局數組為結果集

vector<vector<string>> res;

主調函數：

vector<vector<string>> solveNQueen(int n){/* 初始化路徑track為'.',可選列表從track[0]開始 */backtrack(vector<string>(n, '.'), 0);return res; }

套用框架：
路徑：當前擺放Queen行之前成功擺放Queen的位置；
選擇列表：當前行的所有位置都是選項，不過需要判斷是否合法；
結束條件：Queen已經成功擺放完第N行；

void backtrack(vector<string> &track, int row){int n = track.size();/* end condition */if(row == n){res.push_back(track);return;}for(int col = 0; col < n; col++){/* 檢查當前位置是否合法 */if(!isValid(track, row, col){continue;}/* make choice */track[row][col] = 'Q';/* recursion */backtrack(track, row+1);/* undo choice */track[row][col] = '.';} }

檢查暴力當前位置是否合法

bool isValid(vector<string> track, int x, int y) {/* 當前列 */for (int i = 0; i < x; i++) {if (track[i][y] == 'Q') {return false;}}/* 左上 */for (int i = x - 1, j = y - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {if (track[i][j] == 'Q') {return false;}}/* 右上 */for (int i = x - 1, j = y + 1; i >= 0 && j < track[i].size(); i--, j++) {if (track[i][j] == 'Q') {return false;}}return true; }

哈希表檢查是否合法,需要聲明一個全局哈希表memo，并在每次做出選擇時memo[row] = col，每次撤銷選擇，刪除該鍵值對；

bool isValid(int row, int col) {for (auto p : memo) {if (p.second == col || abs(p.first - row) == abs(p.second - col)) {return false;}}return true; }

總結

回溯算法的實質還是多叉樹的遍歷問題，深度優先遍歷，清楚遍歷的操作，框架如下：

def backtrack(...)for 選擇 in 選擇列表make choicebacktrack(...)undo choice

注意
維護好走過的 [路徑] 和當前可選的 [選擇列表]，并寫出合適判斷選擇合法性的函數，最后碰到終止條件，將本次遍歷結果存入結果集；

2020/08/06 00:45
@luxurylu

總結

以上是生活随笔為你收集整理的回溯算法（全排列、组合、N皇后问题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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