? ? ? ?前言，在寫這個博客之前，本人經過了很長時間的糾結，看過很多關于彈性系數的文獻，也請教過很多人，但一直沒有徹底搞明白。所以，只要看到文章中提高“彈性系數”，“因子貢獻率”，“全微分”或者“敏感性分析”，心里都發憷，而且因為一直沒有徹悟而揪心，簡直到了寢食難安的地步。今天經過再次思考，突然茅塞頓開，抓緊整理出來以備同樣困惑的朋友學習。廢話少數，開始講解！

1、彈性系數概念及推導

? ? ? ?彈性系數，或者是敏感性，指的是因變量變化率與自變量變化率的比值。是不是不好理解？那我就舉個通俗的例子，比如人的幸福感（因變量）由工資收入，職位高低和孩子多少3個因素決定（自變量），如果保持職位，孩子多少不變，僅僅把你的工資提高1%看看你的幸福感提高多少，如果變化很明顯，那么說明工資收入對幸福感很敏感；同理，如果說你再多要一個孩子你想死的心都有，那么說明孩子多少也很敏感，只是負影響而已。如果敏感性為0.1，那么就表明自變量增加10%，因變量則會隨之增加1%。公式推導如下

其中Sx是指的敏感性指數，y是因變量（如上例子中的幸福指數），x是自變量（如例子中的工資收入）。這個公式中只顯示出來了對x自變量的敏感性，當然對其他因子也是類似，各個自變量之間要為獨立關系，那么?y/?x就是偏微分。

2、氣象中干燥指數的彈性系數及MATLAB實現

?? 在氣象中常用到一個指數是干燥指數，指的是潛在蒸散發ET₀（是輻射，溫度，水汽壓，風速的函數，本文以Penmen-Montieth公式為例）與降水P的得比值（如下）。干燥指數是用來衡量一個地區氣候干濕狀況的一個重要指標，在氣候、水文、植被等領域得到了廣泛的應用。

?? 問題就來了，這么重要的一個指數，對一個特定區域它會受哪些因素影響顯著，或者對哪些因素敏感呢？這就涉及到了AI對氣象因子的敏感性分析了。

比如分析AI對2米高風速的敏感性，根據敏感系數定義就有：

利用MATLAB的diff求偏微分的函數很容易得到ET0對u2的偏微分公式,以及ET₀對VP（水汽壓），Rs（輻射）,Ta（溫度）的偏導。如下所示：

?

3、水文中徑流的彈性系數以及MATLAB實現

水文研究中常提高一個問題就是分析徑流的變化，到底是哪些因素影響的，并且各個因素的貢獻率是多少？一般而言，徑流變化了包括了氣候變化（降水P，潛在蒸散發ET0），植被變化等。以楊大文老師一篇文章為例“基于水熱耦合平衡方程的黃河流域徑流變化歸因分析”。文中數據如下：

首先，對一個流域水量平衡方程為：

但對于一個閉合流域，長時間尺度（比如10年），土壤濕度△ S一般不會變化，可以看做0。故而，多年尺度一個流域的實際蒸散發可以用

?? ??

其次，根據布迪克水熱平衡理論Bydyko,一定的氣候和植被條件下, 流域長期的水文氣候特征服從水分和能量平衡原理。由于Budyko有多公式，本文采用楊大文老師的

其中P為年降雨，ET0為潛在蒸散發，n 是反映流域下墊面特征的參數, 流域下墊面特征包括地形、土壤和植被等。綜合以上兩個公式，可以得出

這樣，就可以根據流域多年降水P，潛在蒸散發ET0，徑流R求出反應流域特征的參數n值。利用MATLAB的solve函數解方程，求出參數n。

如上代碼求得結果n=1.51，與文中的n值一致，其他也嘗試無誤。

最后，由于徑流R是由降水P，潛在蒸散發ET₀和植被變化n引起，

即有徑流R：

所以年徑流R對P，ET₀，n的敏感性分別為：

? ? ? ??

利用MATLAB較容易獲取偏微分：

（我原先多次嘗試用手推出偏微分，想想太滑稽了，有了工具就好了！）

剩下的就是利用MATLAB根據多年的徑流R，降水P，潛在蒸散發ET0和植被參數n來計算敏感性了：

注意：彈性系數的精髓就是時間一定要對應，如果P,ET0，R是相對轉折點前的，那么對應的彈性系數也是轉折點前的。如果是全時段，那么彈性系數也應該是全時段。

綜上，可以看出計算結果，與文中給出的彈性系數值一致。據此關于彈性系數或者敏感性分析介紹完了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的弹性系数系数在水文气象中的应用及其MATLAB实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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