高等数学笔记第一天
? ?函數： 微積分的研究對象，是映射的一種。
? ?M:數集，M*：排零數集，M+:排零與負數數集
? ?U(x^0,δ）={x|x-x^0|<δ}:? 領域，其中?δ 為半徑
? ?(x^0,δ): 去心領域
? ?D^f: f的定義域? R^f: f的值域? y:相? ? x: 原相
? ?沒有多余的原相：滿射；? 一對一： 單射（不同x對不同y）；? ?滿射+單射： 雙射；? ? 每個單射可誘導一個逆映射（反函數）。
? ?（≠?）x----> y(數集)：泛函；??（≠?）x----> x:變換；? ??（點數集合）x----> R：函數
? ?外函數有界，則復合函數必有界；
? ?D(x)：狄利克雷函數。? ?=1，x是有理數；? 0，x是無理數；
? f(g(x))函數的復合條件是： R^g?∩D^f≠??;
? 基本初等函數： 冪函數，指數函數； 對數函數；三角函數； 反三角函數。
? 收斂數列： n -> +∞, xn ->A,即??=A；
? 數列的極限嚴格定義：?ε>0,?N >0,n>N，|x^n-A| <ε;
? 無界數列發散； 有界數列不一定收斂（如：擺動數列：1,-1,1,-1……）；
? 高等數學證明分為兩步：分析，證明；
? 數列與子數列的斂散關系：
? ? ? 若數列的子數列收斂，則原數列必散發；
? ? ? 若數列的子數列收斂于不同的極限，則原數列必發散；
? ? ? ?若奇次項數列 與 偶次項數列 收斂于同一極限，則數列收斂。
? 收斂數列的性質：唯一性，有界性；保號性。
? 函數收斂的直觀定義： x -> x^0,f(x) -> A;? 或者：? x ->?∞, f(x) -> A。
? 函數收斂的嚴格定義：??ε>0,?σ?>0,當|x-x^0|<σ，|f(x)-A| <ε;? 或者：??ε>0,?X?>0,當|x|>X，|f(x)-A| <ε;
? 函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性。
? 無窮小： 函數的極限為0時，稱為無窮小。
? ? ? ?注意: 任何非零常數都不是無窮小； 0時唯一無窮小常數； 表達時要與自變量聯系起來；
? 無窮大： 自變量變化，因變量的絕對值趨于無窮大；
? ? ? ? 注意：任何常數都不是無窮大； 無窮大必須與自變量聯系起來表達
? 無窮大一定是無界函數；無界函數不一定無窮大；
? 無窮小的運算法則：
? ? ?1.無窮小加無窮小，還是無窮小；
? ? ?2.有界函數與無窮小的乘積，仍然是無窮小；
? ? ?3.有限個無窮小的乘積，仍然時無窮小；
? ?極限的運算法則：
? ? ? ? ?1.lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x)?± lim g(x) = A?± B;
? ? ? ? ?2.lim[f(x)* g(x)] = lim f(x)*lim g(x) = A*B;
? ? ? ? ?3.lim f(x)/g(x) = ( lim f(x) ) /( lim g(x) ) = A/B (B≠0);
? ? ? ? ?4.lim [C f(x)] = C lim f(x);
? ? ? ? ?5.lim [ f(x)] ^n = [lim f(x)]^n;
? ? 有理函數：
? ? ? ? ?f(x) = P(x)/Q(x)? = (a0*x^m + a1*x^m-1+....+a m-1*x+ am) / (b0*x^n + b1*x^n-1 + ....+b n-1 *x + bn)
? ? ?有理函數的極限：
? ? ? ? ? lim有理函數 = a0/b0,m=n;? =0,m<n;? ?=∞,m>n。?
? ? ??
總結
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