高斯混合模型介紹

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model）通常簡稱GMM，是一種業界廣泛使用的聚類算法，該方法使用了高斯分布作為參數模型，并使用了**期望最大（Expectation Maximization，簡稱EM）**算法進行訓練。

混合高斯背景建模是基于像素樣本統計信息的背景表示方法。

對于視頻圖像中的每一個像素點，其值在序列圖像中的變化可看作是不斷產生像素值的隨機過程，可以用高斯分布來模擬像素值的變化規律。由于混合高斯模型理論上可以擬合任何一種分布，所以用GMM建模效果較好。

圖像的每一個像素點按不同權值的多個高斯分布的疊加來建模，各個高斯分布的權值和分布參數隨時間更新。

GMM的參數包括：高斯混合系數、均值、方差

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背景提取流程

與標準的GMM聚類過程有所區別：聚類參考《機器學習\29_k-means和GMM的區別與聯系.md》

為圖像中的每個像素點，初始化一個高斯混合模型的參數。K個高斯模型，各有三個參數：高斯混合系數$w$、均值$\mu$、方差${\sigma }^2$。

計算新像素值$X_t$是否屬于第$k$個高斯分布（屬于即視為匹配成功，可存在多組匹配成功）。判斷方法：其與高斯模型的均值偏差在$2.5\sigma$內。

如果存在匹配成功的高斯分布，那么該像素值就屬于背景，否則為前景。

更新高斯混合系數$w$，其中$\alpha$為學習率。對于匹配的模式$M_k,t=1,$否則$M_k,t=0$。

上面公式的含義：對于匹配成功的高斯分布，加大其系數，因為該分布更能反映背景像素分布；對于匹配失敗的高斯分布，減少其系數，說明該高斯分布已經不能準確表達背景信息了。

更新以后需要重新對$w$歸一化，確保混合高斯分布的最大值為1

未匹配成功的高斯模型不做更新，匹配成功的高斯模型根據$X_t$更新參數$\mu$和${\sigma }^2$。
$$\begin{array}{rl}E步：& 固定\mu 和\sigma ，計算屬于每一類的概率\\ \rho & =w_{k,t}?\eta \left(X_t\mid {\mu }_k,{\sigma }_k\right)\\ M步：& 固定\rho ，更新\mu 和\sigma \\ {\mu }_t& =(1?\rho )?{\mu }_{t?1}+{\rho }^{?}{X}_t\\ {\sigma }_t^2& =(1?\rho {)}^{?}{\sigma }_{t?1}^2+{\rho }^{?}{\left(X_t?{\mu }_t\right)}^T\left(X_t?{\mu }_t\right)\end{array}$$
$\rho$為當前數據屬于某個高斯分布的概率，利用該概率進行滑動平均更新均值和方差。

如果不存在匹配成功的高斯模型，即該點為前景，就直接去除$w$最小的高斯模型，然后添加一個新的高斯模型，其均值為$X_t$，標準差初始化為較大的值，高斯混合系數$w$初始化為較小的值。

此時高斯模型的總數是不變的。

各模式根據$w/{\sigma }^2$按降序排列，權重大、標準差小的模式排列在前。

選前B個模式作為背景，B滿足下式，參數T表示背景所占的比例：

7、8的主要目的是：防止剛加入的前景立刻作為背景模板，這樣下一幀的該位置會立馬變成背景，前景檢測就不穩定了；該步驟保證了當新加入的高斯模型在更新了一次次數后才加入背景模板，保證了背景的穩定性，同時也具有背景適應環境變化的特點

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與GMM聚類的區別在于：

聚類需要利用所有的樣本更新。背景提取需要一個樣本更新。

聚類需要計算每個樣本屬于每個高斯分布的概率。背景提取只需要判斷新的點屬于哪個高斯分布即可。

聚類不需要學習率來更新高斯混合系數。背景提取需要學習率單獨更新混合系數。

聚類利用所有的樣本更新每一個高斯分布。背景提取只用新樣本更新匹配成功的高斯模型。

聚類不會剔除高斯模型，只會不斷更新每一個高斯模型。背景提取會逐步剔除混合系數最小的分布，然后生成新的高斯模型加入GMM，正因如此，GMM可以適應緩慢的光線變化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的混合高斯背景建模算法GMM的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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