一、最短路徑問題(shortest path problem)

最短路徑問題是圖論研究中一個(gè)經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖中兩節(jié)點(diǎn)或單個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。根據(jù)問題的不同，算法的具體形式包括：

確定起點(diǎn)的最短路徑問題，即給定起始節(jié)點(diǎn)，求該節(jié)點(diǎn)到其他剩余節(jié)點(diǎn)的最短路徑，適合使用Dijkstra算法；

確定終點(diǎn)的最短路徑問題，即給定終點(diǎn)，求其他節(jié)點(diǎn)到該終點(diǎn)的最短路徑。在無向圖中，該問題與確定起點(diǎn)的問題等價(jià)；在有向圖中，問題等價(jià)于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問題；

確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問題，即給定起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；

全局最短路徑問題，即求圖中所有節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑，適合使用Floyd-Warshall算法。

常用的最短路徑算法包括：Dijkstra算法，A

算法，Bellman-Ford算法，SPFA算法(Bellman-Ford算法的改進(jìn)版本)，Floyd-Warshall算法，Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文將重點(diǎn)介紹Dijkstra算法的原理以及實(shí)現(xiàn)。

二、Dijkstra算法介紹

1. 算法概覽

Dijkstra算法，翻譯作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法，于1956年由荷蘭計(jì)算機(jī)科學(xué)家艾茲赫爾.戴克斯特拉提出，用于解決賦權(quán)有向圖的單源最短路徑問題。所謂單源最短路徑問題是指確定起點(diǎn)，尋找該節(jié)點(diǎn)到圖中任意節(jié)點(diǎn)的最短路徑，算法可用于尋找兩個(gè)城市中的最短路徑或是解決著名的旅行商問題。

問題描述：在無向圖

中，

為圖節(jié)點(diǎn)的集合，

為節(jié)點(diǎn)之間連線邊的集合。假設(shè)每條邊

的權(quán)重為

，找到由頂點(diǎn)

到其余各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑(單源最短路徑)。

2. 算法描述

為帶權(quán)無向圖，圖中頂點(diǎn)

分為兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合(用

表示)。初始時(shí)

只有源點(diǎn)，當(dāng)求得一條最短路徑時(shí)，便將新增頂點(diǎn)添加進(jìn)

，直到所有頂點(diǎn)加入

中，算法結(jié)束。第二組為未確定最短路徑頂點(diǎn)集合(用

表示)，隨著

中頂點(diǎn)增加，

中頂點(diǎn)逐漸減少。

初始化：

只包含起點(diǎn)

，

包含

外的其他頂點(diǎn)。

中的距離為起點(diǎn)

到頂點(diǎn)的距離。若

與

相鄰，則

中頂點(diǎn)

距離為

的邊緣權(quán)重；若

與

不相鄰，則

的距離為

;

更新

和

：從

中選出距離值最小的頂點(diǎn)

，并將頂點(diǎn)

添加至

；同時(shí)，從

中移除

；

更新

中頂點(diǎn)到起點(diǎn)

的距離：由于

中添加了

，利用

進(jìn)一步更新

到其他頂點(diǎn)的距離，存在

的可能性；

反復(fù)迭代：重復(fù)第二步和第三步，直到遍歷完所有節(jié)點(diǎn)。

3. 算法示例

以下圖為例，對(duì)Dijkstra算法的工作流程進(jìn)行演示(以頂點(diǎn)

為起點(diǎn))：

圖1. 有權(quán)無向圖G

注：

01)

是已計(jì)算出最短路徑的頂點(diǎn)集合；

02)

是未計(jì)算出最短路徑的頂點(diǎn)集合；

03)

表示頂點(diǎn)

到頂點(diǎn)

的最短距離為3

第1步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

圖2. 第1步

第2步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖3. 第2步

第3步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖4. 第3步

第4步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖5. 第4步

第5步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖6. 第5步

第6步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖7. 第6步

第7步：選取頂點(diǎn)

添加進(jìn)

，更新

中頂點(diǎn)最短距離

圖8. 第7步

三、Dijkstra算法的R及Python軟件實(shí)現(xiàn)

1. R實(shí)現(xiàn)Dijkstra算法：igraph包中shortest.paths函數(shù)

示例：node編號(hào)1-7分別代表A,B,C,D,E,F,G

require(igraph)

graph_matrix

"node x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

1 0 12 NA NA NA 16 14

2 12 0 10 NA NA 7 NA

3 NA 10 0 3 5 6 NA

4 NA NA 3 0 4 NA NA

5 NA NA 5 4 0 2 8

6 16 7 6 NA 2 0 9

7 14 NA NA NA 8 9 0

", header=T))

nms

mat

colnames(mat)

mat[is.na(mat)]

# create graph from adjacency matrix

g

# Get all path distances

(s.paths

(s.paths

(s.paths

1 2 3 4 5 6 7

1 0 12 22 22 18 16 14

2 12 0 10 13 9 7 16

3 22 10 0 3 5 6 13

4 22 13 3 0 4 6 12

5 18 9 5 4 0 2 8

6 16 7 6 6 2 0 9

7 14 16 13 12 8 9 0

(s.paths

1 2 3 4 5 6 7

4 22 13 3 0 4 6 12

2. Python語言實(shí)現(xiàn)Dijkstra算法：networkx 模塊

示例：

from dijkstar import Graph, find_path

graph=Graph()

graph.add_edge(1,2,{'cost':12})

graph.add_edge(1,6,{'cost':16})

graph.add_edge(1,7,{'cost':14})

graph.add_edge(2,3,{'cost':10})

graph.add_edge(2,6,{'cost':7})

graph.add_edge(2,1,{'cost':12})

graph.add_edge(3,2,{'cost':10})

graph.add_edge(3,4,{'cost':3})

graph.add_edge(3,5,{'cost':5})

graph.add_edge(3,6,{'cost':6})

graph.add_edge(4,3,{'cost':3})

graph.add_edge(4,5,{'cost':4})

graph.add_edge(3,5,{'cost':5})

graph.add_edge(3,6,{'cost':6})

graph.add_edge(4,3,{'cost':3})

graph.add_edge(4,5,{'cost':4})

graph.add_edge(5,3,{'cost':5})

graph.add_edge(5,4,{'cost':4})

graph.add_edge(5,6,{'cost':2})

graph.add_edge(5,7,{'cost':8})

graph.add_edge(6,1,{'cost':16})

graph.add_edge(6,2,{'cost':7})

graph.add_edge(6,3,{'cost':6})

graph.add_edge(6,5,{'cost':2})

graph.add_edge(6,7,{'cost':9})

graph.add_edge(7,1,{'cost':14})

graph.add_edge(7,5,{'cost':8})

graph.add_edge(7,6,{'cost':9})

cost_func = lambda u, v, e, prev_e: e['cost']

find_path(graph, 4, 7, cost_func=cost_func)

找到D(4)到G(7)的最短路徑：

PathInfo(nodes=[4, 5, 7], edges=[{'cost': 4}, {'cost': 8}], costs=[4, 8], total_cost=12)

參考資料：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的遍历所有点的最短路径python_图遍历算法之最短路径Dijkstra算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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