简谐震动简单分析
之所以記錄一下簡諧震動，是因?yàn)樽罱诳蠢绽棺儞Q的時候，發(fā)現(xiàn)簡諧震動和正弦有關(guān)系，正弦和傅里葉級數(shù)有關(guān)，傅里葉級數(shù)直接導(dǎo)出傅里葉變換，而傅里葉變換是拉普拉斯變換的一個特例，所以從簡單的簡諧運(yùn)動開始分析，記錄一下學(xué)習(xí)的足跡．
簡諧運(yùn)動，又稱為簡諧震動，諧震，SHM(simple Harmonic motion), 即是最簡單也最基本的一種機(jī)械震動，當(dāng)某物體進(jìn)行簡諧運(yùn)動時，物體所受到的力跟位移成正比，并且力總是指向平衡位置．
如果用表示物體收到的回復(fù)力，用表示物體對于平衡位置的位移，根據(jù)胡克定律，正比于,她們之間的關(guān)系可以用下式來表示：
式中的是回復(fù)力與位移成正比的比例系數(shù)，負(fù)號的意思是，會復(fù)力的方向總跟物體位移的方向相反．
根據(jù)牛二定律
一定質(zhì)量的物體，加速度和物體所收到的和外力大小成正比，跟合力的方向相同，并且如果是孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．
動力學(xué)方程：
對于簡諧運(yùn)動，其動力學(xué)方程是２階微分方程，可以由牛頓第二運(yùn)動定律得到：
所以：
也就是：
這是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程
可以先求出它的兩個解,如果他們的比不為常數(shù)，也就是線性無關(guān)，那么
就是方程的一個通解．
當(dāng)為常數(shù)時，指數(shù)函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都只相差一個常數(shù)因子，由于指數(shù)函數(shù)這個特點(diǎn)，我們可以用來嘗試，看能佛選取適當(dāng)?shù)?#xff0c;使得滿足上面方程的解.
所以:
所以
所以，它的兩個特根為：
所以：
所以，方程的通解是：
轉(zhuǎn)換形式：
是由初始條件決定的常數(shù)，取平衡位置為原點(diǎn)，每一項(xiàng)都有物理意義，是振幅，是角頻率，是相位．
根據(jù)速度，加速度與位移量的關(guān)系，可以得到：
機(jī)械能守恒:
系統(tǒng)總機(jī)械能為動能+彈簧勢能:
?
所以
能量守恒得證，根據(jù)這個結(jié)果，系統(tǒng)的總能量和彈性系數(shù)以及最大振幅有關(guān)，說白了，在時刻，施加給系統(tǒng)的第一推動位置，決定了系統(tǒng)的總能量。
?一圖勝千言，看Geogebra如何描繪整個過程：
最外面藍(lán)色圓圈表示位移變化，中間的綠色圓表示速度變化，最內(nèi)層紅色圓表示加速度的變化。
數(shù)學(xué)中有一類特殊的函數(shù)，它們有著非常良好的特性，比如三角函數(shù)，e指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等等，你可以對它們不停求導(dǎo)而不會遇到奇點(diǎn)，也可以對它們進(jìn)行泰勒展開，得到的收斂半徑無窮大。更為特殊的是，某種意義上，它們似乎是構(gòu)成其它函數(shù)的“元”函數(shù)，大部分的函數(shù)都可以用以上幾類函數(shù)做近似表示，它將我們從時域帶入頻域，進(jìn)入另一個和我們的世界對偶的新世界。為什么三角函數(shù)這么特殊？這是科學(xué)家討論的話題，我等小民無從知曉，不過，冥冥中有種感覺，這種基礎(chǔ)的問題可能會將我們導(dǎo)向研究世界的本質(zhì)，現(xiàn)代物理認(rèn)為世界上的大部分現(xiàn)象都與波有關(guān)，包括宏觀物體物質(zhì)波，或許這種關(guān)系里面隱藏著更為深刻的真相，現(xiàn)代宇宙學(xué)中的“弦理論”，認(rèn)為世界十一維的，所有的物質(zhì)都是由極其微小的單元”弦“構(gòu)成，弦的震動構(gòu)成了多姿多彩的世界，又是震動，又是圓，這中間，是否蘊(yùn)藏著某種更本質(zhì)的東西等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。
結(jié)束！
總結(jié)
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