1 環(huán)和域的基本概念

概念：
定義： 設(shè)$R$是非空集合，其上定義了兩種運(yùn)算（通常表示為加法運(yùn)算$+$和乘法運(yùn)算$?$），滿足以下條件：
（1）$<R,+>$構(gòu)成Abel群。
（2）$<R,?>$構(gòu)成半群。
（3）$?$對(duì)$+$具有分配律，即對(duì)任意的$a,b,c\in R$，有$$a?(b+c)=a?b+a?c,(b+c)?a=b?a+c?a$$則稱代數(shù)結(jié)果$<R,+,?>$為環(huán)。
若$?$還滿足交換律，即對(duì)任意的$a,b\in R,a?b=b?a$，則稱之為交換環(huán)。若關(guān)于$?$有單位元$e$，即對(duì)任意的$a\in R,e?a=a?e=a$，則稱之為有單位元環(huán)。


定理： 設(shè)$<R,+,?>$是環(huán)，則
（1）對(duì)任意的$a\in R$，$0?a=a?0=0$，其中0是$+$的單位元。
（2）對(duì)任意的$a,b\in R$，$(?a)?b=a?(?b)=?(a?b)$。


定理： 在任意交換環(huán)$R$中，對(duì)任意的$a,b\in R$，$${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n?k)!}{a}^k{b}^{n?k}$$


定義： 設(shè)$a,b$是環(huán)$<R,+,?>$中的兩個(gè)非零元，如果$a?b=0$，則稱$a、b$為零因子。在無(wú)零因子的環(huán)中，若有$a?b=0$，則必有$a=0$或$b=0$。
定義： 含有單位元的交換環(huán)，如果沒(méi)有零因子，則稱之為整環(huán)。


定義： 如果$<F,+,?>$是整環(huán)，$|F|>1，<F?\{0\},?>$是群，則稱$<F,+,?>$是域。
定義： 設(shè)代數(shù)系統(tǒng)$<F,+,?>$滿足以下條件：
（1）$<F,+>$構(gòu)成Abel群。
（2）$<F?\{0\},?>$構(gòu)成Abel群。
（3）$?$對(duì)$+$滿足分配律。
則稱$<F,+,?>$是域。


定理： 有限整環(huán)一定是域。


定義： 對(duì)域中的乘法單位元$e$做連加運(yùn)算$e+e+???+e=ne$，定義有滿足$ne=0$的最小正整數(shù)$n$稱為域的特征，其中$0$為乘法的零元。


定理： 設(shè)域的特征為$n$，則對(duì)域的任一非零元$a$，有$na=0$。


定理： 域的特征或?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$0$或?yàn)樗財(cái)?shù)。


定理： 設(shè)$F$的特征是素?cái)?shù)$p$，則對(duì)任意的$a,b\in F，m\in N$，有$${(a+b)}^{p^m}=a^{p^m}+b^{p^m},{(a?b)}^{p^m}=a^{p^m}?b^{p^m}$$


定理： 設(shè)$p$是素?cái)?shù)，整系數(shù)多項(xiàng)式$f(x)=a_n{x}^n+a_{n?1}{x}^{n?1}+???+a_{1}x+a_0$，則$$f(x{)}^p=f(x^p)modp$$

例題：
例1：



例2：



例3：



例4：



例5：



例6：

2 子環(huán)和理想

概念：
定義： 給定一個(gè)環(huán)$<R,+,?>$，如果代數(shù)系統(tǒng)$<S,+,?>$滿足以下條件，就稱之為環(huán)$<R,+,?>$的子環(huán)。
（1）$S?R$。
（2）對(duì)任意的$a,b\in S$，有$a+b\in S，?a\in S$。
（3）對(duì)任意的$a,b\in S$，有$a?b\in S$。
條件（1）、（2）保證了$<S,+>$是Abel群，（3）保證了$<S,?>$是半群，$S$上的分配律由$R$上的分配律繼承，所以$<S,+,?>$是環(huán)。


定義： 設(shè)$<R,+,?>$和$<S,\oplus ,\odot >$都是環(huán)，映射$h:R\to S$，滿足：對(duì)任意的$a,b\in R$，有$$h(a+b)=h(a)\oplus h(b),h(a?b)=h(a)\odot h(b)$$則稱$h$是$<R,+,?>$到$<S,\oplus ,\odot >$的環(huán)同態(tài)。
其中，$h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$保證了$<R,+>$到$<S,\oplus >$的群同態(tài)，$h(a?b)=h(a)\odot h(b)$保證了$<R,?>$到$<S,\odot >$的半群同態(tài)，而且$h$保持了運(yùn)算的分配律。


定義： 設(shè)$<D,+,?>$是$<R,+,?>$的子環(huán)，若對(duì)任意的$a\in R,d\in D$，都有$a?d\in D$和$d?a\in D$，則稱$<D,+,?>$是$<R,+,?>$的理想。
顯然$D=R$和$D=\{0\}$都是$R$的理想，稱為平凡理想。


定理： 環(huán)$<R,+,?>$的子集$<D,+,?>$是理想的充要條件如下：
（1）對(duì)任意的$a,b\in D$，$a?b\in D$。
（2）對(duì)任意的$r\in R$和任意的$a\in D$，有$ra\in D$。


定理： 設(shè)$<D,+,?>$是$<R,+,?>$的理想，定義$<\frac{R}{D},\oplus ,\odot >$如下：$$\frac{R}{D}=\{a+D|a\in R\}(a+D)\oplus (b+D)=(a+b)+D(a+b)\odot (b+D)=(a?b)+D$$則$<\frac{R}{D},\oplus ,\odot >$是環(huán)，稱為$R$關(guān)于$D$的商環(huán)。
當(dāng)$R$是交換環(huán)或有單位元時(shí)，$\frac{R}{D}$也是交換環(huán)或有單位元。


定理： 設(shè)$h$是環(huán)$R$到環(huán)$R^{\prime }$的同態(tài)，則$h$的核$ker(h)$是$R$的理想。反過(guò)來(lái)，如果$D$是環(huán)$R$的理想，則$s:R\to \frac{R}{D}$，$s(a)=a+D$是核為$D$的同態(tài)，稱為$R$到$\frac{R}{D}$的自然同態(tài)。


定理： 設(shè)$h$是環(huán)$R$到環(huán)$R^{\prime }$的滿同態(tài)，則存在唯一的$\frac{R}{ker(h)}$到$R^{\prime }$的同構(gòu)$$f:r+ker(h)\to h(r)$$使得$h=f°s$，其中$s$是$R$到$\frac{R}{ker(h)}$的自然同態(tài)。

3 多項(xiàng)式環(huán)

概念：
定理： 設(shè)$f(x)\in R[x]$。
（1）$\alpha \in F$是$f(x)$的根，當(dāng)且僅當(dāng)$(x?a)|f(x)$。
（2）若$degf=n$，則$f(x)$至多有$n$個(gè)根。


定理： 設(shè)$f(x),g(x)\in R[x]$，$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n?1}{x}^{n?1}+???+a_{1}x+a_0，g(x)=x^m+b_{m?1}{x}^{m?1}+???+b_{1}x+b_0,m\ge 1$$則一定存在$q(x),r(x)\in R[x]$，使得$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中$degr<degg$。


定義： 在上述定理中，如果$r(x)=0$，即$f(x)=q(x)g(x)$，就稱$g(x)$整除$f(x)$，記為$g(x)|f(x)$，稱$g(x)$是$f(x)$的因式，$f(x)$是$g(x)$的倍式。


定義： 設(shè)$f(x)\in R[x]$，如果$f(x)$的因式除了$1$和自己外，沒(méi)有其他因式，則稱$f(x)$為不可約多項(xiàng)式。


定義： 設(shè)$f(x),g(x)\in R[x]$，滿足以下兩個(gè)條件的$d(x)\in R[x]$稱為$f(x)、g(x)$的最大公因式：
（1）$d(x)|f(x),d(x)|g(x)$。
（2）若$h(x)|f(x),h(x)|g(x)$，則$h(x)|d(x)$。
$f(x)、g(x)$的最大公因式記為$(f(x),g(x))$。
設(shè)$f(x),g(x)\in R[x]$，滿足以下兩個(gè)條件的$D(x)\in R[x]$稱為$f(x)、g(x)$的最小公倍式：
（1）$f(x)|D(x),g(x)|D(x)$。
（2）若$f(x)|h(x),g(x)|h(x)$，則$D(x)|h(x)$。
$f(x)、g(x)$的最小公倍式記為$[f(x),g(x)]$。


定理： 在多項(xiàng)式廣義Euclid除法中，$(f(x),g(x))=r_k(x)$。且存在$s(x),t(x)\in R[x]$，使得$$s(x)f(x)+t(x)g(x)=(f(x),g(x))$$


引理： 對(duì)任意的$f(x)\in F_p[x]$，$f(x)$的所有倍式構(gòu)成的集合$I_f[x]$是$<F_p[x],+,?>$的理想。


定理： 設(shè)$n$次多項(xiàng)式$f(x)\in F_p[x]$是不可約的，則以$f(x)$為模構(gòu)成的多項(xiàng)式商環(huán)是一個(gè)有$p^n$個(gè)元素的有限域，記為$GF(p^n)$。

例題：
例1：



例2：



例3：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【网络空间安全数学基础第8章】环和域的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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