FeynRules介紹

FeynRules是一個基于Mathematica的工具包，能夠從拉氏量出發，構建費曼規則，生成高能粒子物理仿真計算所需的模型文件，例如散射截面蒙特卡洛模擬，暗物質計算等等。能方便地應用于各種超標準模型費曼規則的構建，極大地方便理論家。其一般作為仿真計算的第一步。這里是官方主頁，同時可參考手冊。構建自己的拉氏量模型，需要一些必要的信息和參數。

模型名和基本信息

這是包含模型名，作者的email，參考文獻等等信息。模型被load的時候這些信息將會打印出來。

指標

拉氏量中的某些場會帶兩個指標，規范指標$\alpha ,(N^2?1)$和洛倫茲指標$\mu ,(0?3)$。定義模型的時候需要制定好這些指標。例如一個帶指標$i_1,i_2,i_3...$的場${\phi }_{i_1,i_2,i_3...}$被表示為 $\text{psi}[index1,index2,...]$，指標被指定為$\text{Index}[name,i]$,name為指標名，指標名可任意，不過指標還是遵循本身作用命名為對應名字：4矢量指標-(Lorentz)；4旋量空間-(Spin)；左/右手wyel表示-(Spin1 / Spin2)等，已經被內部定義好。

然后要指定指標長度，例如，色指標長度為3: IndexRange[ Index[Colour] ] = Range[3]；SU(2)群規范指標為3: IndexRange[ Index[SU2W] ] = Unfold[ Range[3] ]；SU(3)膠子場指標：IndexRange[ Index[Gluon] ] = NoUnfold[ Range[8] ]。這里的函數Unfold和NoUnfold有特點含義，Unfold為展開規范指標，NoUnfold則不展開。（參考手冊）指標輸入可以以更方便的形式，例如聲稱場第一指標為$\mathbf{L}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{t}\mathbf{z}$,第二指標為$\mathbf{G}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{o}\mathbf{n}$后，FeynRules會自動構建指標名：
$$\text{G[mu,?a]}\to \text{G[Index[Lorentz,?mu],?Index[Gluon,?a]]}$$

耦合參數

標量參數

拉氏量需要指定參數，例如耦合常數或者是質量參數等標量參數，模型參數可以被分為標量或者是多指標變量。在FeynRules中這被分為兩部分列表。

這里參數是“冗余”的，例如強耦合常數$g_s$，出現在拉氏量里；${\alpha }_s=g_s^2/4\pi$，出現在實驗中。指定一個即決定另一個。但是實驗通常測量${\alpha }_s$，所以在FeynRules里${\alpha }_s$被稱為$\text{external}$ ，$g_s$被稱為$\text{internal}$ parameter。兩者都需要指定，外部參數值為實數，內部為公式。要先指定外部，再指定內部參數。例子如下：

張量參數

拉矢量另外一些參數是張量例如酋矩陣、質量矩陣、CKM矩陣等等，它們被指定為一系列參數，并且默認指定為復數。例如CKM矩陣：

其被指定為內部參數，值由卡波比角確定。拉氏量中，指標需要為全縮并形式，即指標要重復兩次，但是額外情況也被允許，例如3指標相同的求和，詳情見手冊。

粒子/場 的種類與參數

場指標是由自旋標記的，如$spin?$ 0，1/2，1，3/2，2等，需要被指定。
攜帶同樣量子數但是質量不同的場被認為是“多重態”，能夠更緊湊的寫下拉氏量，例如典型的quark拉氏量：
粒子需要被指定名字和是否有反粒子，以及質量等其它參數。對于場不是自共厄的情況，共軛場會自動創建，只需使用 “fieldnamebar” 來使用。玻色子場的反粒子場對應它的厄米共厄，費米子場則對應$\bar{\psi }={\psi }^{?}{\gamma }^0$。場的指標需要跟相應的對稱性掛鉤，洛倫茲和自旋指標對應龐加萊群，能被自動FeynRules設定不需要指定；但是色指標【SU(3)對稱】和味指標【味對稱性(假設)】需要指定。

除了SU(N)規范理論對稱性帶來的指標，剩下的U(1)或離散對稱性被量子數“荷”所攜帶。另外指定粒子質量，質量可以是$\text{internal}$ parameter，例如Highs機制下$W,Z$質量由對稱性破缺決定。由于我們無法同時對角化質量矩陣和Yukawa矩陣，導致會有出現mass basic和favor basic的情況【取決于對角化誰】，一般希望對角化質量矩陣，而favor basic被認為是非物理的。FeynRules中也能夠使用favor basic計算。另外就是對角化U(1)$\times$SU(2)玻色子【$A,Z,W$】質量矩陣出現weak mixing angle【溫伯格角】能夠被指定或是符號計算。在最后相互作用頂點計算時需要被替換【$B,W^1,W^2,W^3\to A,Z,W^{+},W^{?}$】。

鬼子【Ghost，保證非阿貝規范不變的Faddeev-Popov ghost】和戈德斯通粒子【Goldstone，粒子獲得質量的代價，戈德斯通定理】則可以指定與它們連接的gauge boson和scalar fields。

馬約拉納費米子【Majorana fermions 】則需要定義馬約拉納相，其定義為電荷共厄算符本征值的相位$?$：${\lambda }^c=C{\bar{\lambda }}^T=e^{i?}\lambda$。

外爾費米子【Weyl fermion】則需要指定它們的手性【chirality】。不過為了方便計算（卡西米爾trick），可以將二分量外爾表示轉變為四分量狄拉克旋量表示。

超對稱粒子及超場我不太懂，這里就略過。

總的來說，粒子定義類似如下：
V[1] == {
ClassName -> A,
SelfConjugate -> True,
Mass -> 0,
Width -> 0,
ParticleName -> “a”,
PDG -> 22,
PropagatorLabel -> “a”,
PropagatorType -> W,
PropagatorArrow -> None,
FullName -> “Photon”
},
這是一個光子的定義，$==$左邊為一個實體，標記為1，花括號內為這個實體的描述，包括各項定義。其余參數的定義也采取類似形式。

規范群

場的相互作用結構一般由規范對稱性給出。規范對稱是指作用量在規范變換下不變。體現在拉氏量中就是協變導數/場強張量，這是模型需要指定的一點。規范群一般是簡單或者半單李群，仍然以 $\text{實體}==\{\text{描述}\}$ 的方式來定義。例如下面定義了標準模型$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$規范群。

$U(1)$阿貝尓群能夠指定“荷”【charge】$Y$，能被用于驗證 拉氏量/費曼規則 的荷守恒。

$SU(2),SU(3)$等非阿貝爾群則需要被指定結構常數、生成元、和耦合常數，同時群表示需要被定義【基本表示/伴隨表示】。常用的規范群FeynRules提供了內部定義，同時也能夠解析計算。FeynRules不會區分生成的表示和對應的共厄表示，因為生成元是厄米的。復共厄表示只是把粒子變為反粒子，反粒子變為粒子而已（詳情參考手冊）。規范玻色子的信息由規范群給出（伴隨表示下的規范指標，非阿貝尓群$N^2?1$個規范玻色子）。規范對稱群構建之后，將會幫助構建場強張量和協變導數。

場強張量表示為：$\text{FS[A,?mu,?nu]}$（阿貝爾）或 $\text{FS[?A,?mu,?nu,?a?]}$（非阿貝爾）。其中A為場名，mu、nu為洛倫茲指標，a為伴隨表示生成元指標，分別對應$F_{\mu \nu },F_{\mu \nu }^a$。定義協變導數則為 $\text{DC[phi,?mu]}$，對應 $D_{\mu }?={?}_{\mu }??ig{A}_{\mu }^a{T}_a?$，$T_a$對應基本表示的表示矩陣。

限制參數

一些參數會受到實驗限制，不能取任意值；一些參數能夠被指定為某些近似值使得計算簡化，例如取對角的 $\text{CKM}$ 矩陣：
這將會消除掉味變化的Yukawa項。這些限制能寫在專門的 $\text{file1.rst}$ 文件，能夠裝載模型（$\text{LoadModel[?]}$）后被裝載（$\text{LoadRestriction[?file1.rst,?file2.rst,?...?]}$），在計算費曼規則時施加約束。這個過程是不可能，約束參數會一直被保持。

對于復制的模型，開始時，會選擇特別的基準參數，一般會使許多參數為零，只留下幾個相互作用作用。FeynRules能夠識別出數值上為0的參數，并創建出對應的參數限制文件，命令為 $\text{WriteRestrictionFile[]}$。創建名為 $\text{ZeroValues.rst}$ 的參數約束文件，這個文件能被裝載以提高復雜模型的計算速度。

混合聲明

FeynRules能夠從拉氏量中推導粒子的質量譜（希格斯機制），并對角化質量矩陣。但是對于類似 kinetic mixing 機制下的額外$U(1)$規范群等，需要手動指定 mixing 是如何實現的。例如對角化質量矩陣，mass basic 下的場的重新組合：
$$W_{\mu }^{+}=\frac{W_{\mu }^1?i{W}_{\mu }^2}{\sqrt{2}},W_{\mu }^{?}=\frac{W_{\mu }^1+i{W}_{\mu }^2}{\sqrt{2}}$$

其中$W^i$為 gauge basic 下的場，而$W^{+}$為 mass basic 下的場，它們之間只相差一個幺正變換。即一個矩陣乘法： $\text{MassBasis?=?Value?.?GaugeBasis}$，需要指定這個 $\text{Value}$ 矩陣。對于前者$W^i$， gauge basic 下的場，我們一般稱之為非物理的。在定義粒子mixing時一些無關指標例如自旋、色的可以省略，使用下劃線表示一樣。

有時候 mixing matrix 未知的情況下可以這樣設定：
$$\left(\begin{array}{c}{A}_{\mu }\\ Z_{\mu }\end{array}\right)=U_w\left(\begin{array}{c}{B}_{\mu }\\ W_{\mu }^3\end{array}\right)$$

其中$U_w$是一個幺正矩陣，$B_{\mu }$代表$U(1)$超荷玻色子場，$W_{\mu }^3$則是第三個弱玻色子場，它們通過一個幺正矩陣轉到質量基下，構成光子和$Z$玻色子場。

經過混合聲明的混合矩陣不能夠在拉氏量中顯式使用，想要拉氏量中使用需要一開始使用數值聲明，例如前面聲明$\text{CKM}$矩陣那樣。

有時候從 mass basic 轉到 gauge basic 更為常見，實際測量也是在 mass basic 下，例如$\text{CKM}$矩陣：
$$\begin{gathered} \text{GaugeBasis?=?MixingMatrix?.?MassBasis} \\ {d}_L^0=V_{\mathrm{C}\mathrm{K}\mathrm{M}}?d_L \end{gathered}$$
其中$d_L$為左手down夸克，在質量基上的表示。這與上面 gauge basic 轉到 mass basic 下只差個逆矩陣到關系。設定時可以將 $\text{Inverse}$ 設為 $\text{True}$。

有時候“左手”跟“右手”的粒子 Mixing 并不相同，例如 Yukawa 項中，左手夸克是$SU(2{)}_L\text{doublets}$ 而右手夸克為 $\text{singlets}$. 能夠被如下設置：

這是一個聲明 down-type quark Mixing 的塊。其中 QL為左手夸克和左手中微子構成的二重態，dR則是右手夸克單態，這為了嘗試解釋只存在左手中微子的問題。dq[1, _]的1代表夸克代數。

剩下則是費米子質量問題，在標準模型中，${\text{SU(2)}}_L$ 群下由二分量希格斯 doublet 的真空決定。把費米子拉氏量寫成外爾二分量形式為：
$$\begin{gathered} m\bar{\psi }\psi =m\left({\bar{\psi }}_R{\psi }_L+{\bar{\psi }}_L{\psi }_R\right) \\ \left({\psi }_1^{?},\dots ,{\psi }_n^{?}\right)M?\begin{array}{c}{\chi }_1^{+}\\ ?\\ {\chi }_n^{+}\end{array}? \end{gathered}$$
可以看出粒子和反粒子的手性是反過來的，我們對角化質量矩陣$M$則得到對角元$m$，即費米子質量，可以對正反費米子場通過施加兩個“旋轉”實現對角化：
$$?\begin{array}{c}{\tilde{\psi }}_1^{?}\\ ?\\ {\tilde{\psi }}_n^{?}\end{array}?=U?\begin{array}{c}{\psi }_1^{?}\\ ?\\ {\psi }_n^{?}\end{array}?\text{?and?}?\begin{array}{c}{\tilde{\chi }}_1^{+}\\ ?\\ {\tilde{\chi }}_n^{+}\end{array}?=V?\begin{array}{c}{\chi }_1^{+}\\ ?\\ {\chi }_n^{+}\end{array}?$$
當然，$m$值實際為正比于 Yukawa 耦合參數和希格斯真空，希格斯doublet是而分量場，自然能表示成兩個真空值 vev1, vev2 ： vevs = { { phi1, vev1 }, { phi2, vev2 } }，其中phi1，phi2是希格斯場本身在真空中的激發。準確來說，在$SU(2)$ 下希格斯場應該有四個分量，他們之間的 Maxing 能指定如下：
這代表了這樣的希格斯場分量組合：
$$\left(\begin{array}{l}{?}_1\\ {?}_2\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)+U_s^{?}\left(\begin{array}{l}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)+i{U}_p^{?}\left(\begin{array}{l}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\right]$$
當然在標準模型中我們一般使得某一真空值$vev1$或$vev2$為零使得中微子質量為0（取決于左手中微子在 doublet 的上還是下分量），然后希格斯場的四個分量場（$h_1,h_2,a_1,a_2$）的三個對應為 Goldstone 場（賦予了$W^{\pm },Z$質量），剩下一個為希格斯標量粒子。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的FeynRules的上手使用1--介绍模型参数设置的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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