基于matlab小波工具箱的數(shù)字圖像處理及小波分析

基于 Matlab 小波工具箱的數(shù)字圖像處理摘要：小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮、去噪、分解和增強(qiáng)等。運(yùn)用多分辨率分析可以將信號分解為多尺度信息，每個尺度下都有該分辨率下的“概貌”信息和細(xì)節(jié)。小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，它不是時間-頻率域上的分析，而是時間-尺度域變換，因此在圖像處理上具有明顯的優(yōu)勢。同時合適小波函數(shù)也就成為小波分析中最基本的問題。關(guān)鍵字：小波分析，多分辨分析，小波函數(shù)，圖像處理一、 多分辨率分析多分辨分析，也稱為多尺度分析，即在不同尺度下對事物進(jìn)行分析 [1]。我們都知道，人的眼睛觀察物體時，如果距離物體比較遠(yuǎn)，也就是說尺度比較大，則視野寬、分辨能力低，只能觀察事物的概貌而看不清局部細(xì)節(jié)。若距離物體較近，那么視野就窄而分辨能力高，可以觀察到事物的局部細(xì)節(jié)，卻無法概覽全貌。因此，若想要知道物體的整體輪廓又要看清其局部細(xì)節(jié)，就必須選擇不同的距離對物體進(jìn)行觀察。同理，信號分析也是如此，在大尺度上分析信號的全貌，在小尺度上分析信號的細(xì)節(jié)，那么就需要把信號分解成某一尺度下的“概覽”和該尺度下的細(xì)節(jié)。1.1 信號的近似分解給定一個連續(xù)信號 ，我們可用不同的基函數(shù)并在不同的分辨率水平上對它作)(tx近似 [2]。令(1.1)10()tt??????其 他顯然， 的整數(shù)位移相互之間是正交的，即)(t?(1.2) (),(),tktkkZ????????這樣，由 的整數(shù)位移 就構(gòu)成了一組正交基。設(shè)空間 由這一組正交基)(t? 0V所構(gòu)成，這樣， 在空間 中的投影(記作 )可表為：x0V)(0txP(1.3))()( ,tkakatxP0?????式中 , 是基 的權(quán)函數(shù)， 可以看作是 在 中的)(),0ktk???a0,0k )(0ttx0近似。 ， 如圖 1.1(a)所示。 是離散序列，如圖 1.1(b)所示。(txP)(0()Pxt()xt 0()ak(a) (b) )(0txP)(ka0圖 1.1令 (1.4))()(/, t2tjjkj ????是由 作二進(jìn)制伸縮及整數(shù)位移所產(chǎn)生的函數(shù)系列，顯然， 和 是正)(t? )(,tkj?)(,tkj?交的。將 作二倍的擴(kuò)展后得 ，由 作整數(shù)倍位移所產(chǎn)生的函數(shù)組當(dāng)然也是)2(t?)(t兩兩正交的(對整數(shù) ) ，它們也構(gòu)成了一組正交基。k(1.5)Zkttk ????),2()(1/,1?我們稱由這一組基形成的空間為 ，記信號 在 中的投影為 ，則VxV)(1txP(1.6)?kk11tatxP)()(,式中 為加權(quán)系數(shù)。 如圖 1.2(a)所示。 仍為離散序列，如圖 1.2(b))(ka1所示。1Pxt()t1()ak(a) (b) )(1txP)(ka1圖 1.2若如此繼續(xù)下去，在 的基礎(chǔ)上，我們可得到在不同尺度 下通過作整數(shù)位移)(t? j所得到一組組的正交基，它們所構(gòu)成的空間是 。用這樣的正交基對 作近似，ZjV?, )(tx就可得到 在 中的投影 。又有)(txjVtxPj(1.7) )1()2(???t?再比較該圖的 1.1(a)和 1.2(a)，顯然圖 1.1(a)對 的近似要優(yōu)于圖 1.2(a)對 的x)(tx近似，也即分辨率高。當(dāng) 時， 中的每一個函數(shù)都變得無限窄，即有???j)(,tkj?(1.8))()(txtPjj????而當(dāng) ，那么 中的每一個函數(shù)都變成無窮寬，對 的近似誤差也越?j)(,tkj )(tx大。低分辨率的基函數(shù) 可由高一級分辨率的基函數(shù) 所決定。從12?? 0?j?空間上來講，低分辨率的空間 應(yīng)包含在高分辨率的空間 中，但是，畢竟 不等于V0VV，二者之間有誤差。這一誤差是由 和 的寬度不同而產(chǎn)生，因此，1V)(kt??)2(1kt?這一差別應(yīng)是一些“細(xì)節(jié)”信號，我們記之為 。這樣有：1xD(1.9))()(0ttPtx??另設(shè)一基函數(shù) ，)(t?(1.10)112()0tt??????其 他顯然， 的整數(shù)位移也是正交的，進(jìn)一步，其在不同尺度下的位移，即)(t，也是正交的，同時， 和 的整數(shù)位移之間也是正交的，即Zkjtj?,)(,?)(t?t?(1.11)Zk0kt ??????? ,,( 又 和 之間有如下關(guān)系：)(t?(1.12) 2/)]([)(ttt??及(1.13)/)]([)12(tt???記 張成的空間為 ， 所張成的空間為 ，依次類推，)(kt??0Wk? 1W張成的空間為 。記 在空間 中的投影為 ，在 中的投影為),kj j)(tx0)txD(0，它們均可表為相應(yīng)基函數(shù) 的線性組合，即)txD1 )(,tkj(1.14))(,tkdD00??(1.15))(,txk1k1?式中 , 是 , 尺度下的加權(quán)系數(shù)，它們均是離散序列。 ,)(kd01?j )txD(0分別如圖 1.3(a)和(b)所示， , 分別如圖(c)和(d)所示。)(0 )t1d0()Dxt 0()dxk(a) (b)0()dxt 1()dxk(c) (d)不難發(fā)現(xiàn)， 與 相加，即得 ，由空間表示，即是)(1txP)(1tD)(0txP(1.16)1WV??把上述概念加以推廣，顯然有(1.17) 01211jjjV W?? ?? ?并且(1.18)?? 1210??jjVV這樣，給定不同的分辨率水平 ，我們可得到 在該分辨率水平上的近似j)(tx和 ，由于 是低通信號，因此 反映了 的低通成份，我們稱其)(txPj )(tDj )(t?Pj t為 的“概貌” 。由于 是由 邊緣得到的離散序列，所以 也應(yīng)是kaj )(txj )(kaj在尺度 下的概貌，或稱離散近似。同理，由于 是帶通信號，因此 反tj )(t?)(txDj映的是的高頻成份，或稱為 的“細(xì)節(jié)” ，而 是 的離散細(xì)節(jié)。)(tkdjx1.2 多分辨分析的定義Mallat 給出了多分辯率分析的定義 [3]：設(shè) 是 空間中的一個閉合子空間，如果它們滿足如下六個性質(zhì)，則??jVZ?)(2RL說明 ， 是一個多分辨率近似。這六個性質(zhì)是：1．平移不變性： ，若 則 (1.21)2),(Zkj?jVtx?)(jjVkt?)2(2．單調(diào)性： ， ，即 (1.22)1??jjV??? 110??jj3．伸縮性： ，若 ，則 (1.23)j?jtx)()2(?jtx4．：漸進(jìn)完全性： (1.24)??0????jjjVLim?5．逼近性： (1.25))((2RLClosureVijjjj???6．Riesz 基存在性：存在一個函數(shù) ，使得 構(gòu)成 的t?0?/2{()}jkzt???jVRiesz 基

總結(jié)

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