8.18

令主屬性為至少在一個候選碼中出現的屬性。令$\alpha ,\beta$為屬性集，使得$\alpha \to \beta$成立，令A為不屬于$\alpha 或\beta$的屬性，并且$\beta \to A$，我們稱$A$為傳遞依賴于$\alpha$（$\alpha$傳遞函數確定$A$）. 我們可以按照如下方式重新定義3NF： 關系模式R是關于函數依賴集F的3NF的條件為：R中沒有非主屬性A傳遞依賴于R的一個碼，請證明這個新定義等價于原始定義

反證法：(假定題目定義的3NF不成立推出課本定義3NF不成立)
根據題目傳遞依賴定義,

當$A為$非主碼且滿足$A傳遞依賴\alpha$的時(違背了題目的定義)
我們有
$$?\beta ?R,使得\beta \to A,\alpha \to \beta ,A\notin \alpha ,A\notin \beta$$

$A\notin \beta ?\beta \to A不是平凡的$

$\beta \to \alpha 不成立?\beta 不是超碼$

$A非主碼?A不包含于任意候選碼中(A/?候選碼)$

接下來推
假定課本定義的3NF不成立推出題目定義3NF不成立
我們根據課本有以下三個條件同時滿足

$\alpha \to \beta 非平凡$

$\alpha 不是R的超碼$

$存在A\in (\beta ?\alpha )\wedge A不包含于任意候選碼中$

$$\begin{gathered} 上面三個內容?A不是主鍵\wedge \alpha \to A \\ 因為：A是主鍵A就一定會包含于候選碼中 \\ 因為：由于(1)(3)，A是\beta 的元素且\alpha \to \beta \end{gathered}$$

假設$c$是一個R的候選碼，$\alpha$不是主碼(不是超碼，所以肯定不是主碼)，我們有$c\to \alpha$ ,$\alpha \to c$不成立（c是候選碼）；因為A非主碼，這種情況下有$A\notin \alpha \wedge A\notin c$(根據(1)(3)得到因為A是$\beta$的元素但不是$\alpha$的，且$\alpha \to \beta$非平凡)，因此A傳遞依賴c(c是候選碼，有$c\to \alpha$.還有$\alpha \to \beta ,A\in \beta$)，違反了題目的定義

綜上，題目定義等價于課本定義

8.21

Give a lossless-join decomposition into BCNF of schema R of Exercise 8.1

$$\begin{gathered} A\to BC \\ CD\to E \\ B\to D \\ E\to A \end{gathered}$$
根據函數依賴集，我們依次測試單個多個屬性集的閉包可以得到以下候選碼
$$A,BC,CD,E$$

過程如下
$$(A{)}^{+}=(ABC{)}^{+}=(ABCD{)}^{+}=ABCDE$$
$$(CD{)}^{+}=(CDE{)}^{+}=(CDEA{)}^{+}=ABCDE$$
$$(E{)}^{+}=ABCDE$$
$$(BC{)}^{+}=ABCDE$$
其他組合不滿足要求

$B\to D非平凡$
$B非超碼$

若以我們可以把它們分解為
$$\begin{gathered} (A,B,C,E) \\ (B,D) \end{gathered}$$

8.27

Use Armstrong’s axioms to prove the soundness of the decomposition rule.

Armstrong’s公式
$$\begin{gathered} b?a?a\to b \\ a\to b?ca\to cb \\ a\to b\wedge b\to c?a\to c \end{gathered}$$

要證明
$$a\to bc?a\to c\wedge a\to b$$

$$\begin{gathered} (1)a\to bc \\ (2)bc\to b(自反率) \\ (3)bc\to c(自反率) \\ (4)a\to c((1)(3)傳遞律) \\ (5)a\to b((1)(2)傳遞律) \end{gathered}$$
綜上，證畢

8.34

$$F=\{AB\to CD,D\to C,DE\to B,DEH\to AB,AC\to DC\}$$

把右邊變單元素
$$F=\{AB\to C,AB\to D,D\to C,DE\to B,DEH\to A,DEH\to B,AC\to D,AC\to C\}$$

去掉冗余屬性
$$F=\{AB\to C,AB\to D,D\to C,DE\to B,DEH\to A,DEH\to B,AC\to D\}$$

• 若(AB->C）冗余，則 $(AB{)}^{+}=ABCD$,包含C，冗余可去
• 若(AB->D）冗余，則 $(AB{)}^{+}=AB$, 不冗余
• D->C顯然不冗余
• 若(DE->B）冗余，則 $(DE{)}^{+}=DEC$, 不包含B， 不冗余
• 若(DEH->A）冗余，則 $(DEH{)}^{+}=DEHB$, 不冗余
• 若(DEH->B）冗余，則 $(DEH{)}^{+}=DEHABC$, 包含B， 冗余
• 若(AC->D）冗余，則 $(AC{)}^{+}=AC$, 不冗余

得到如下數據
$$F=\{AB\to D,D\to C,DE\to B,DEH\to A,AC\to D\}$$

處理完右邊再處理左邊

• $AB\to D$中A冗余的話， $(B{)}^{+}=B$，不冗余
• $AB\to D$中B冗余的話， $(A{)}^{+}=A$,不冗余
• $DE\to B$中D冗余的話， $(E{)}^{+}=E$,不冗余
• $DE\to B$中E冗余的話， $(D{)}^{+}=DC$,不冗余
• $DEH\to A$中D冗余的話， $(EH{)}^{+}=EH$,不冗余

剩余部分同理可得不冗余
得到

最小子查詢
$$F=\{AB\to D,D\to C,DE\to B,DEH\to A,AC\to D\}$$

統計各個元素在依賴關系中的出現情況

• A：左右均出現
• B：左右均出現
• C：左右均出現
• D：左右均出現
• E: 只出現左側
• G：未出現
• H：只出現左側

只出現在左側或未出現的元素一定為候選碼，則求他們的閉包
$$(EHG{)}^{+}=EHG\ne R$$

于是加入一個屬性計算
經測試發現$(DEHG{)}^{+}=DEHGABC=R$ 我們得到DEHG是R的一個候選碼，剩下的A,B,C均不行

測試加入兩個屬性，剩余的ABC兩兩組合，有$(ABEHG{)}^{+}=ABEHGDC$， $(ACEHG{)}^{+}=ACEHGDB$

綜上可行的候選碼有
$$\begin{gathered} DEHG \\ ABEHG \\ ACEHG \end{gathered}$$
于是我們在F的最小子查詢的基礎上進行分解，有
$$\begin{gathered} (A,B,D) \\ (D,C) \\ (D,E,B) \\ (D,E,H,A) \\ (A,C,D) \end{gathered}$$
然后再加上前文算出的所有候選碼
$$\begin{gathered} (D,E,H,G) \\ (A,B,E,H,G) \\ (A,C,E,H,G) \end{gathered}$$

最后，觀察新組成的分解模式中，是否存在包含關系，有則去掉被包含的，這里$(D,C)?(A,D,C)$，去掉，而達到無損分解，我們還缺一個候選碼，我們只需要取其中一個候選碼即可，這里我選了第一個DEHG

$$\begin{gathered} (A,B,D) \\ (D,E,B) \\ (D,E,H,A) \\ (A,C,D) \\ (D,E,H,G) \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据库理论第八章部分作业——基于《数据库系统概念》第七版的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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