一阶LC谐振电路
一階LC諧振電路
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LC諧振電路具有選頻功能，廣泛用于各種通信電路。本文就一階LC電路進行仿真，以此來進一步加深對電路特性的理解和記憶。
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諧振
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當電路中存在感性元件（如電感）或者容性元件（電容）時，信號源（比如電流源）的頻率變化會使得電路總體呈現容性、感性或者電阻性。當電路呈現電阻性時，就說該電路發生了諧振。最簡單的諧振電路就是一階LC諧振電路，只由一個電感、一個電容和信號源組成。
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并聯諧振電路
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一階并聯型LC諧振電路如上面左圖所示，其中的電阻r是電感的固有損耗，這個固有損耗值一般非常小（以至于理想狀態下可以完全忽略），但是一般進行諧振分析時都把它考慮在內。通常將該網絡等效變換到上面的右圖形式。這個電路有以下幾個重要參數：
1、諧振條件$\omega C = \frac{1}{\omega L}$，滿足該條件的諧振角頻率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$，諧振頻率$f_0=\frac {\omega_0} {2 \pi} $；
1、等效電阻$R(\omega)=\frac{(\omega L)^2}{r}$；
2、發生諧振時，$R(\omega)$記為諧振電阻$R_0$，$R_0=\frac{(\omega_0 L)^2}{r}$；
3、品質因數$Q_0=\frac{R_0}{\omega_0 L}=R_0 \omega_0 C$；
4、通頻帶$B_0.7=\frac{f_0}{Q_0}$；
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串聯諧振電路
串聯諧振電路的很多公式跟并聯是相似的，有些特性與并聯也是對應的。串聯回路的分析要簡單很多，可以很容易寫出阻抗表達式。而且也不用進行等效變換，該電路的一些公式結論如下：
1、諧振條件為$\omega L = \frac{1}{\omega C}$，諧振角頻率不變，仍然是$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$，諧振頻率$f_0=\frac?{\omega_0} {2 \pi}? $。
2、因為電阻r直接作為了阻抗的實部，因此諧振電阻$R_0=r$。
3、品質因數是并聯的倒數，$Q_0=\frac{\omega_0 L}{R_0}=\frac{1}{R_0 \omega_0 C}$。
4、通頻帶$B_0.7=\frac{f_0}{Q_0}$；
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諧振電路仿真
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以并聯電路為例，在PSpice中連接好最基本的電路，電路參數在圖中已經標明。根據第一節的結論公式和該并聯電路器件參數，我們可以計算出電路的諧振角頻率、諧振頻率、諧振電阻、品質因素分別為：$\omega_0=25M rad/s$、$f_0 \approx 3.9789MHz$、$R_0=100 \Omega$、$Q_0=100$。
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阻抗特性
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上圖是電路總阻抗的幅頻（綠線）和相頻（紅線）特性曲線。先來看相頻，當$f<3.9787MHz$時，相位角為正，說明電路呈感性；當$f>3.9787MHz$時，相位角為負，所以電路呈容性；而$f=3.9787MHz$時，電路呈電阻性，這說明此時電路諧振，實際測得的諧振頻率$f_0=3.9787MHz$。這個頻率值很接近我們計算所得的理論值。
我在仿真的時候，將每十倍頻的采樣點數故意設得非常高，也就是說結果的精確度等級幾乎可以達到0.0001。之所以強調這一點，是希望讀者注意到上面諧振頻率的誤差，即$0.0002MHz$，并非是由于軟件仿真導致的，而是我們的理論值出錯了。諧振角頻率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$成立的前提條件是$\omega_0 L >> r$，也就是公式中其實忽略了小r的影響，而真正零誤差的公式為$\omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{L C} -\frac{r^2}{L^2} }$，用該公式計算出來的諧振頻率恰好就是圖中的$3.9787MHz$。當然，實際中基本都忽略r的影響，因為性能好的電路中，其影響真的是微不足道啊。
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對于相頻曲線，還要關注的就是變化規律。如上圖所示，可以看到在諧振頻率附近，曲線的斜率非常大，變化得非?？?。這說明，諧振點是個非常不穩定的點，很容易偏移到感性區域或者是容性區域，在實物電路的調節中相信這個問題會相當明顯并且棘手。此外，我們剛講過r對相頻的影響，這個再次體現在了低頻區域的相位上，大約在1MHz以下，相位就開始回零，最終趨于純電阻性。其原因可以通過阻抗或者導納公式推知，由于是低頻段分析，因此過程中可將${(\omega L)}^2$忽略簡化分析：
$Y(j\omega) = j\omega C + \frac{1}{j\omega L + r}=\frac{r}{r^2 + (\omega L)^2}+j[\omega C - \frac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}] $
$When \;? \omega L << r ,Y(j\omega) = \frac{1}{r}+j[\omega C - \frac{\omega L}{r^2}]$
$\Theta (j\omega) = \arctan \omega (rC-\frac{L}{r})$
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再看第一張圖中的幅頻，曲線呈尖峰狀。結合相頻曲線，可知在電路諧振時（是忽略r時的諧振，而非電路實際真正的諧振），阻抗的幅值達到最大，為$100 \Omega$。這里的$100 \Omega$恰好就是諧振電阻$R_0$。
以上是并聯電路的阻抗特性，在串聯電路中，阻抗特性曲線如下圖所示，剛好和并聯相反。
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選頻特性和通頻帶
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上圖是回路電壓的歸一化曲線，可以表示為$\frac{U(j\omega)}{U_0}$，通過一定變換，可知它與$\frac{Z(j\omega)}{R_0}$是等價的。直觀地說，上圖就是阻抗幅頻曲線歸一化后的樣子，并且$\frac{U(j\omega)}{U_0}$的相頻與阻抗相頻特性是完全一樣的。
這里，可以測得通頻帶大約為$39kHz$，允許通過的頻率范圍就是$3.959MHz$到$3.999Mhz$。結合理論公式，我們知道：通頻帶和選頻特性是矛盾的，因為選頻特性越好，要求品質因數要越大；如果通頻帶越大，則品質因數就要變小。所以，電路設計中要綜合權衡這兩個指標。
串聯電路的選頻特性曲線和并聯的一樣，也是呈尖峰狀，只不過用于衡量選頻能力的公式變為$\frac{I(j\omega)}{I_0}$。
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諧振電路設計
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?并聯電路
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一階LC諧振電路需要設計的參數無非就是電感L值和電容C值，而固有損耗通常都是客觀決定的。L、C值的選擇會影響電路的諧振頻率、諧振電阻、品質因數等特性。以并聯電路為例，下面討論參數的選擇問題。
首先，很明顯的一點是，$L·C$的值越小，諧振頻率越大；而且假設L、C各自減小到原來的一半，那么諧振頻率只增大兩倍，而不是四倍。
第二個是諧振電阻，將原來的公式進行變換可得$R_0=\frac{L}{C·r}$，由此可知L越大，C越小，那么諧振電阻就越大；而且如果L增大到原來的兩倍，C減小到原來的一半，那么諧振頻率仍然不變，但是諧振電阻卻增大了四倍。
品質因數跟諧振電阻有很大關系，將公式進行變換可得$Q_0=\sqrt{\frac{R_0}{r}}$，也就是說如果諧振電阻能夠增大到4倍，那么品質因數可以增大到2倍。
并聯回路的最大電壓就是諧振時候的電壓，該電壓值$U_0=I_{sm}·R_0$，它的增大趨勢和諧振電阻相同。
此外，我們必須要注意電感和電容的耐壓耐流特性。在并聯電路里，諧振時候流過電感和電容的電流幅值最大，并且滿足$|I_{C0}|=|I_{L0}|=Q_0|I_{sm}|$。其增大趨勢是和品質因數相同。
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?串聯電路
與并聯一樣，$L·C$的值越小，諧振頻率越大；而且假設L、C各自減小到原來的一半，那么諧振頻率增大兩倍。
諧振電阻取決于固有損耗值。
品質因數$Q_0=\sqrt{\frac{LC}{r^2}}$，L增大，C減小，可以增大品質因數。
串聯回路的最大電流就是諧振時候的電流，該電流值$I_0=\frac{U_{sm}}{R_0}$，與諧振電阻呈反比。
在串聯電路里，諧振時候電感和電容的分壓最大，并且滿足$|U_{C0}|=|U_{L0}|=Q_0|U_{sm}|$。其增大趨勢是和品質因數相同。
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固有損耗對電路的影響
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最后想要說明的一點就是固有損耗帶來的影響。因為仿真軟件里的模型一般都是理想的，也很難說固有損耗一般在哪個范圍。我嘗試了不同大小的固有損耗值，發現它對電路的影響還是比較有趣的。
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關于固有損耗對諧振頻率的影響，并聯和串聯電路表現得截然不同。串聯電路的諧振頻率絲毫不受干擾（上第一幅圖），并聯（上第二幅圖）的在上文就已經提到過了。我們看到，固有損耗從$10m \Omega$僅僅變到$900m \Omega$，諧振頻率就偏移了將近50%。解決這一問題的方法，就是一定范圍內增大L，從而保證$\omega_0 L >> r$這一前提條件。例如，就之前的仿真電路，將電感L調整為$200nH$，電感調整為$8nF$，此時諧振頻率仍然不變，但是對固有損耗的抵抗力顯然增強，如下圖所示（r的取值同上面）：
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諧振電路最重要的特性除了諧振頻率，還有就是選頻特性或者說通頻帶。比較遺憾的是，同諧振頻率一樣，固有損耗對選頻特性的影響也非常大。如下圖所示，通頻帶的增大非常明顯，與之相反，我們可以觀察到波峰的位置偏移程度較小，也就是說電壓中心頻率對r是不太敏感的。該問題的解決方法與諧振頻率一樣。
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除了諧振頻率和選頻特性，下面分析了其他特性的變化，這些變化的前提是$\omega_0 L >> r$。
諧振電阻方面，串聯電路中諧振電阻就是固有損耗電阻，因此r越大，$R_0$也越大；并聯電路中，$R_0=\frac{L}{C·r}$，所以$R_0$與r呈反比關系。
品質因數公式在串聯和并聯中互為倒數，但其實可以化成相同的形式：$Q_0=\sqrt{\frac{R_0}{r}}$。因此，品質因數也與r呈反比關系。
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帶載LC諧振電路
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以上的所有分析都是針對空載電路來說的，然而實際電路中，都是帶載的情況，此時為了獲得更好的選頻能力，該如何選擇L和C的值呢？
我們假設電感的固有損耗為$r$，負載電阻為$R_L$，則$Q_L=\frac{R_L//r}{\omega_0 L}=\frac{1}{rk+\frac{1}{R_Lk}}$，$k=\sqrt{\frac{C}{L}}$。如果要使品質因數最大，則要滿足$k^2=\frac{C}{L}=\frac{1}{R_Lr}$。進而，假設認為電感是理想的，沒有損耗，那么回路電阻完全取決于負載，此時$Q_L=\sqrt{\frac{C}{L}}R_{\Sigma}$，則C越大L越小，品質因數越大，選頻特性越好。
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總結
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