熟能生巧，大多數(shù)的解題步驟或者思路都可通過(guò)訓(xùn)練獲得。將事情重復(fù)做，即使剛開(kāi)始你感覺(jué)素手無(wú)錯(cuò)，一臉茫然，但是通過(guò)重復(fù)訓(xùn)練，最終也能夠游刃有余。

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題目來(lái)源：第十二屆藍(lán)橋杯青少年國(guó)賽C++中級(jí)組-編程題4

這是一道DP(動(dòng)態(tài)規(guī)劃)的題目，大家都知道，DP算法的效率極高，但是較難理解。在很多算法的題解中對(duì) DP在該題中的應(yīng)用思路? 只簡(jiǎn)單提了幾句。我們來(lái)看一道題，或許題解過(guò)程能讓你對(duì)DP的理解更加深入一些。

題目?jī)?nèi)容：

校慶，采購(gòu)瓜子。資金N(1<=N<=1000)元，M(1<=M<=30)種瓜子。問(wèn)最多能采購(gòu)多少千克的瓜子？比如N=80元，M=2種。第1種，每袋18元10千克；第2種，每袋30元20千克。

輸入樣例：

80 2

18 10

30 20

輸出樣例

50

提示：18+30+30=78元 10+20+20=50千克

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分析：

這是完全背包問(wèn)題，是一道模板題，是必須要掌握的(背代碼也要背下來(lái))。那什么是完全背包問(wèn)題呢？

完全背包問(wèn)題：一般是指，有N件物品和一個(gè)能背重量為W的背包，第i件物品的重量為weight[i]，價(jià)格為value[i]。每件物品有無(wú)限個(gè)(也就是可以放入背包多次)，求怎樣可以使背包物品價(jià)值總量最大。

本道題我們完全可以套模板。資金N元(按照完全背包問(wèn)題的解釋，我們可以把N看成W)，即有M種瓜子，有資金N元，求怎樣可以使買(mǎi)的瓜子重量最多？

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法最重要的兩點(diǎn)是：

1、確定dp數(shù)組和下標(biāo)的含義? ? ? ? 2、確定遞推公式(選或者不選物品)

本題中的dp數(shù)組我們可以這樣定義：int dp[50][1010];?

dp[i][w]代表 - 前i個(gè)物品，在價(jià)值為w的情況下，最大的重量是dp[i][w]

因?yàn)镸<=30，物品的數(shù)量不會(huì)大于30，所以dp的第一個(gè)維度，我們?cè)O(shè)置一個(gè)大于30的長(zhǎng)度即可。資金W<=1000，dp的第二個(gè)維度代表資金，資金<=1000，所以第二個(gè)維度我們?cè)O(shè)置一個(gè)大于1000的長(zhǎng)度即可。

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該題中涉及到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有：

數(shù)據(jù)的輸入

輸入資金和瓜子種數(shù)

?

數(shù)據(jù)的處理

此步是最核心最關(guān)鍵的，我們定義了dp[i][w]數(shù)組，該數(shù)組的含義代表前i個(gè)物品，在價(jià)格為w的情況下，最大的重量是dp[i][w]，對(duì)于本題的例子當(dāng)N=80，M=2的情況下，最多能買(mǎi)50kg的瓜子。即求出dp[2][80]的值。

在dp中，要求出dp[i][j]的值，需要通過(guò)遞推計(jì)算而來(lái)。

注意：要認(rèn)真區(qū)別此處各種符號(hào)表示的含義。

對(duì)于每一種瓜子，都有選與不選兩種選擇。dp數(shù)組的初始化，當(dāng)i=0或者w=0的情況下，dp[i][w]均為0，因?yàn)閐p[0][w]代表前0件商品，在價(jià)格為w的情況下，最大的重量，既然沒(méi)有商品，那么最大的重量肯定為0，dp[i][0]代表前i件商品，在資金為0下，最大的重量，既然沒(méi)有資金，那么最大的重量肯定為0.

以資金=80，種類(lèi)=2為例，有：

dp[0][0],dp[0][1],dp[0][2],dp[0][3],dp[0][4]……dp[0][80]的值均為0.

dp[0][0],dp[1][0],dp[2][0],dp[3][0],dp[4][0]……dp[50][0]的值均為0.

可通過(guò)嵌套for循環(huán)進(jìn)行遞推，利用for循環(huán)求出dp[i][w]

在當(dāng)前資金j不夠買(mǎi)第i種瓜子的情況下，dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]的值，dp[i-1][j]代表前i-1種瓜子，在價(jià)格為j下，最大的重量為dp[i-1][j].

比如對(duì)于dp[1][16]，在前1種瓜子下，當(dāng)前資金是16元，但是根據(jù)題目意思，第1種瓜子的價(jià)格為18，所以dp[1][16]=dp[0]=16]=0千克，無(wú)法買(mǎi)瓜子，所以最大重量為0

再比如對(duì)于dp[1][18]，在前1種瓜子下，當(dāng)前資金是18元，第1種瓜子的價(jià)格剛好為18元，資金足夠，根據(jù)代碼dp[1][18]=max(dp[0][18],dp[1][0]+10)=10千克，所以最大重量為10千克

再比如對(duì)于dp[2][19],，在前2種瓜子下，當(dāng)前資金是19元，當(dāng)前第2種瓜子的價(jià)格為30元，資金不夠，因此dp[i][j]=dp[i-1][j]=dp[2][19]=dp[1][19]=10千克

對(duì)于每一種瓜子，只有買(mǎi)和不買(mǎi)兩種選擇，對(duì)于前i種瓜子，在現(xiàn)有資金為j下，如果資金足夠，我們可以買(mǎi)，也可以不買(mǎi)，那到底買(mǎi)不買(mǎi)呢？

買(mǎi)不買(mǎi)取決于：如果不買(mǎi)的重量比買(mǎi)了的重量更大，就不買(mǎi)，如果買(mǎi)了的重量比不買(mǎi)的重量更大，就買(mǎi)。本題例子的輸入，不好解釋dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-wt[i]]+v[i]);這一現(xiàn)象，我們可以更改一下輸入，即?

80 2

30 20

18 10

比如要求：dp[2][30]=max(dp[1][30],dp[2][30-18]+v[2])=max(20,10)=20，前2種瓜子，當(dāng)資金為30，最大的重量為20.因?yàn)楫?dāng)資金30時(shí)，如果不選擇買(mǎi)18元的瓜子，就有20千克，如果選擇買(mǎi)18元的瓜子，最終的重量就只有10千克

注意：這里是一種瓜子可以被選擇多次。

數(shù)據(jù)的輸出

n代表瓜子的數(shù)量，w代表錢(qián)的數(shù)量，對(duì)于本道題而言就是dp[2][80]=50?

遞推表格(演示樣例，當(dāng)資金=80元，瓜子種類(lèi)數(shù)為2種時(shí)，最大的重量)：

?

代碼實(shí)現(xiàn)：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;int dp[50][1010]; //表示，前i個(gè)物品，在價(jià)值w的情況下，最大的重量是dp[i][w] int wt[1010],v[50]; //wt是價(jià)格，v是重量 int n,w; int main() {cin>>w>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>wt[i]>>v[i]; //wt[i]代表第i種瓜子多少錢(qián) v[i]代表第i種瓜子多少千克 for(int i=1;i<=n;i++) //遍歷n種瓜子，每種要么選，要么不選 {for(int j=1;j<=w;j++) //j是價(jià)格 {if(j>=wt[i]) //wt是價(jià)格 {if(dp[i-1][j]>dp[i][j-wt[i]]+v[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}else{dp[i][j]=dp[i][j-wt[i]]+v[i];}}else{dp[i][j]=dp[i-1][j]; }}}cout<<dp[n][w]<<endl;return 0; }

總結(jié)：

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的題目還是要多做，做著做著自然會(huì)有靈感，如果你一開(kāi)始覺(jué)得很難，就不去動(dòng)手敲代碼，那你永遠(yuǎn)也學(xué)不會(huì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，不僅動(dòng)態(tài)規(guī)劃，其它題目也是如此。最后送給大家一句話(huà)學(xué)如逆水行舟不進(jìn)則退。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划之买瓜子—C说算法系列的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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