一.PAC方法引入與介紹

?（1）PAC 引入

???如圖1所示：

圖1.PAC 方法簡介

?（2）PAC 基本思想

???如圖2所示：

圖2.PAC 方法基本思想

?（3）PAC 求解步驟

???【1】原始數據標準化處理
???【2】計算樣本 相關系數矩陣
???【3】計算 相關系數矩陣 R的特征值和相應的特征向量
???【4】選擇主成分
???【5】計算主成分得分
???【6】依據主成分得分對問題分析與建模

圖3.PAC 方法詳細步驟

?（4）PAC 方法的作用與利弊

???如圖4所示：

圖4.PAC 方法的優與劣

二.PAC方法求解實例

?（1）案例問題

???如圖5所示：

圖5.問題背景與數據

?（2）求解代碼

???如下所示：

%== PCA stepping demonstration program==%% Read data from a file (e.g. excel) and place it in a matrix. A=xlsread('Coporation_evaluation.xlsx', 'B2:I16');% Transfer orginal data to standard data a=size(A,1); % Get the row number of A b=size(A,2); % Get the column number of A for i=1:bSA(:,i)=(A(:,i)-mean(A(:,i)))/std(A(:,i)); % Matrix normalization end% Calculate correlation matrix of A. CM=corrcoef(SA);% Calculate eigenvectors and eigenvalues of correlation matrix. [V, D]=eig(CM);% Get the eigenvalue sequence according to descending and the corrosponding % attribution rates and accumulation rates. for j=1:bDS(j,1)=D(b+1-j, b+1-j); end for i=1:bDS(i,2)=DS(i,1)/sum(DS(:,1));DS(i,3)=sum(DS(1:i,1))/sum(DS(:,1)); end % Calculate the numvber of principal components. T=0.9; % set the threshold value for evaluating information preservation level. for K=1:bif DS(K,3)>=TCom_num=K;break;end end% Get the eigenvectors of the Com_num principal components for j=1:Com_numPV(:,j)=V(:,b+1-j); end% Calculate the new socres of the orginal items new_score=SA*PV;for i=1:atotal_score(i,2)=sum(new_score(i,:));total_score(i,1)=i; end new_score_s=sortrows(total_score,-2);% Displays result reports disp('特征值及貢獻率：') DS disp('閥值T對應的主成分數與特征向量：') Com_num PV disp('主成分分數：') new_score disp('主成分分數排序：') new_score_s

三.PAC方法總結

?（1）詳細講述步驟：

? ? ?【1】由于原始數據的數量級（量綱）常常不同，所以我們首先要對不同的變量類型進行標準化，消除量綱的影響。具體就是每個值減去該變量類型均值然后除以該變量類型的標準差。
? ? ?【2】計算樣本相關系數矩陣就直接是按照圖6方式求解即可，圖3中公式有誤。

圖6.求協方差

? ? ?【3】計算相關系數矩陣R的特征值和相應的特征向量。使用函數可直接求得[V,D]。矩陣V是一列列的特征向量，而D是對角矩陣，對角線上的值就是特征值，并且特征值是由小到大排序的（越往右下）。
? ? ?【4】將特征值由大到小排序，然后計算貢獻度和累計貢獻度：貢獻度=特征值/特征值之和；累計貢獻度=從第一行到此行特征值之和/總特征值之和。
? ? ?【5】設定閾值，選擇主成分（特征值和對應的特征向量）。規定閾值T是主成分需要累計的貢獻度。當累計貢獻度大于等于T即完成特征值的選擇。
? ? ?【6】翻轉得到主成分包含的特征值對應的特征向量。將標準化矩陣映射到主成分上。計算每一組得分：得分=每一行主成分得分之和。就得到了原始數據在主成分（降維）上的得分。

%讀取數據 A=xlsread('Coporation_evaluation.xlsx', 'B2:I16');%獲得A的行數和列數 a=size(A,1); b=size(A,2); for i=1:b%A矩陣標準化處理為SA：（每一個值-該列平均值）/該列標準差SA(:,i)=(A(:,i)-mean(A(:,i)))/std(A(:,i)); end%獲得標準化矩陣SA的相關系數矩陣 CM=corrcoef(SA);%獲得相關系數矩陣的特征值D和對應的特征向量V [V, D]=eig(CM);%將特征值從大到小排序 for j=1:bDS(j,1)=D(b+1-j, b+1-j); end for i=1:b%計算貢獻度（貢獻度=特征值/特征值之和）DS(i,2)=DS(i,1)/sum(DS(:,1));%計算累計貢獻度（累計貢獻度=從第一行到此行特征值之和/總特征值之和）DS(i,3)=sum(DS(1:i,1))/sum(DS(:,1)); end %選擇主成分（特征值） T=0.9; for K=1:b%規定T是主成分需要累計的貢獻度%當累計貢獻度大于等于T即完成特征值的選擇（由D(1,1)到D（Com_num,1））if DS(K,3)>=TCom_num=K;break;end end%因為之前將特征值反轉（從函數返回的默認從小到大返回為從大到小），而每個特征值對應的特征向量也應該是“逆對應”關系 %獲得主成分特征值對應的特征向量（特征值由1到Com_num,特征向量由到倒數第一到倒數第Com_num） for j=1:Com_numPV(:,j)=V(:,b+1-j); end%將標準化矩陣映射到主成分上（降維）獲得主成分得分矩陣(標準化消除量綱+主成分映射降維)new_score new_score=SA*PV;%計算得分 for i=1:a%得分=每一行主成分得分之和total_score(i,2)=sum(new_score(i,:));%設置序號total_score(i,1)=i; end %按照第二列進行排序。負整數表示排序順序為降序。 new_score_s=sortrows(total_score,-2);disp('特征值及貢獻率：') DS disp('閥值T對應的主成分數與特征向量：') Com_num PV disp('主成分分數：') new_score disp('主成分分數排序：') new_score_s

?（2）意義分析：

? ? ?【1】PCA主成分分析方法：
? ? ? ?針對于：多個變量存在一定相關性時；
? ? ? ?適用于：變量個數較多或者變量之間存在復雜的關系時；
? ? ? ?作用是：消除評價指標間的相關影響（如果互相有關聯關系，則都評價肯定是不合理不客觀不公正的，關聯性越強越不合理PAC作用越強）。可減少指標選擇工作量（減少指標個數）。
? ? ?【2】案例作用分析：
? ? ? ?企業的各個評價指標之間明顯是有關聯的。所以直接標準化然后計算得分是不合理的。主成分分析法就提取出互不相關的變量（維度），然后標準化數據進行映射，提取出主成分來評價。作用：（主要）是消除了指標之間的相關影響，（次要）是減少了變量個數減少了計算。

四.函數解釋和參考文案

?（1）函數解釋：

???【1】std(A)：求向量A的標準差。
???【2】mean(A)：求矩陣A的平均值。
???【3】corrcoef(A)：求矩陣A的相關系數矩陣。
???【4】eig(A)=[V,D]：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。
???【5】 sortrows (X, COL)：按指定列COL由小到大進行排序。若COL為負數表示按照降序排列。

?（2）參考文案：

??? 對角矩陣
???知乎-簡潔全面PCA方法講述

總結

以上是生活随笔為你收集整理的PAC—主成分分析方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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