問題引入：

給定整數(shù) N 和 M。求滿足??且??為質(zhì)數(shù)的點(diǎn)對??的個數(shù)。

數(shù)據(jù)范圍：

?

接下來會見到以下內(nèi)容：

• 莫比烏斯函數(shù)
• 莫比烏斯函數(shù)的線性篩
• 迪利克雷卷積介紹
• 莫比烏斯反演
• 整除分塊
• 杜教篩介紹

?

莫比烏斯函數(shù)：

這里 else 是指：n有大于1的平方因子的情況，如，4、9、16等。

?

莫比烏斯函數(shù)的線性篩：

其實(shí)，莫比烏斯函數(shù)線性篩與普通的線性篩基本相同，只是多了一個 mu[MAXN] 數(shù)組罷了。

int prime[MAXN], prime_tot;//prime[MAXN]用于保存質(zhì)數(shù)，prime_tot是質(zhì)數(shù)的個數(shù); bool prime_tag[MAXN];//標(biāo)記是否為質(zhì)數(shù)，false表示是質(zhì)數(shù)，true表示合數(shù); int mu[MAXN];//保存n的莫比烏斯函數(shù)值; void pre_calc(int lim){mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= lim; ++i) {if(!prime_tag[i]) {prime[++prime_tot] = i;mu[i] = -1;//質(zhì)數(shù)的莫比烏斯函數(shù)值必為-1; }for (int j = 1; j <= prime_tot; ++j) {if(i * prime[j] > lim)break;prime_tag[i * prime[j] ] = true;//質(zhì)數(shù)的倍數(shù)必是合數(shù) if(i % prime[j] == 0) {//如果 i能被質(zhì)數(shù)整除 說明 i中必有同一個質(zhì)數(shù)因子//那么 i*prime[j] 就必有平方因子 mu[i * prime[j] ] = 0;break;}else {mu[i * prime[j] ] = -mu[i];}}} }

?

狄利克雷卷積介紹：

狄利克雷卷積是函數(shù)之間的運(yùn)算。

狄利克雷卷積：。

積性函數(shù)：對于任意互質(zhì)的整數(shù) a和b 有性質(zhì)?的函數(shù)。

完全積性函數(shù)：對于任意整數(shù) a和b 有性質(zhì)?的函數(shù)。

?

證明：

設(shè) n 不同的因子的個數(shù)為 k，則有

由二項(xiàng)式定理展開，得

令 x = -1，y = 1，代入得

即

?

下面是一些常見的積性函數(shù)：

①歐拉函數(shù)?

歐拉函數(shù)是求??的質(zhì)數(shù)的個數(shù)。

?

②莫比烏斯函數(shù)?

本節(jié)所講函數(shù)。

?

③單位函數(shù)?

n 是多少就是多少。

?

④不變函數(shù)?

恒等于 1。

?

⑤冪函數(shù)?

易知，。

?

⑥因子個數(shù)函數(shù)?（注意，這里是指不變函數(shù)相乘）

?

⑦因子和函數(shù)?

?

⑧因子函數(shù)?

?

⑨狄利克雷卷積單位元?

?

其中，①②⑨是比較重要的函數(shù)。

（注意：這里的??是指做卷積）

?

莫比烏斯反演：

公式一：

?

公式二：

（數(shù)論千萬條，反演第一條。反演不會做，隊(duì)友兩行淚。）

兩條公式的差別：一條是印數(shù)關(guān)系，一條是倍數(shù)關(guān)系。

?

公式一證明：

?

是不是特別簡單？

可是，為什么??會消去？

答案是，不變函數(shù)是莫比烏斯函數(shù)的乘法逆元。

還不知道什么是乘法逆元的，可以先去學(xué)習(xí)一下。

?

公式二證明：

令?，則

?

想一想，為什么第三條式子可以變?yōu)榈谒臈l式子呢？

因?yàn)?#xff0c;當(dāng)且僅當(dāng) (nk|t) 成立的時候，才會對求和有貢獻(xiàn)。

?

那么，第四條式子又是怎么去到第五條式子的呢？

仔細(xì)看看，?是不是成立？那么，也就出來了。

?

最后，根據(jù)狄利克雷卷積單位元的性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng) t?= n?，即??時才會有貢獻(xiàn)，證畢。

?

回歸問題：

?

?

求?，p是質(zhì)數(shù)。

?

定義，

?

那么，?且有?.。

?

下面開始反演：

?

到這里，復(fù)雜度已經(jīng)降下來一些了，那么怎么解決左邊的這一塊呢？

?

我們預(yù)處理一個?。

for (int i = 1; i <= prime_tot; ++i) {for (int j = 1; prime[i] * j <= lim; ++j) {sum[prime[i] * j] += mu[j];} }

?

最終，?。

?

整除分塊：

?約有??個可能值。

如，N = 25，k = 1，2，3，4，5，6，7-8，9-12，13-25時，?共有 9 個互不相同的值。

快速計(jì)算的方法：

for (int l = 1, r; i <= N; l = r + 1) {r = N / (N / l);ans += (r - l + 1) * (N / l); }

?

杜教篩：

有些題目要用到前綴和，但是數(shù)據(jù)范圍會很大，這是要用到杜教篩。

例如，求?

?

定義：

int mu_sum[MAXN]; unordered_map<long long, int> mp; int mu_calc (long long n) {if (n < lim) return mu_sum[n];if (mp.count(n)) return mp[n];int ret = 1;for (long long l = 2, r; l <= n; l = r +1) {r = n / (n / l);ret -= (r - l + 1) * mu_calc(n / l);}return mp[n] = ret; }

當(dāng)然，杜教篩還可以應(yīng)用到更多地方。

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本文章學(xué)習(xí)來自：

【算法講堂】【電子科技大學(xué)】【ACM】莫比烏斯反演

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題目練習(xí)：

待補(bǔ)充。。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【专题】莫比乌斯反演的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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