文章目錄

• 泡利不相容原理
• 泡利不相容原理的作用范圍
• 自旋統(tǒng)計(jì)定理（Spin–statistics theorem）
• 費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（Femi-Dirac statistics）
• 復(fù)合費(fèi)米子（Composite fermions）

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泡利不相容原理

泡利不相容原理，斷言原子中沒有兩個(gè)電子可以同時(shí)處于相同的狀態(tài)或構(gòu)型，由奧地利物理學(xué)家提出（1925）Wolfgang Pauli解釋觀察到的原子發(fā)光模式。隨后，排斥原理被推廣到包括電子只是其中一個(gè)成員的一整類粒子。

泡利不相容原理支撐著日常物質(zhì)的許多特性，從大尺度穩(wěn)定性到原子的化學(xué)行為。

泡利不相容原理的作用范圍

在許多泡利不相容原理的介紹中，只說兩個(gè)相同的費(fèi)米子不能處于相同的量子態(tài)，但似乎沒有說明這兩個(gè)費(fèi)米子的范圍。排除原則的適用范圍是什么？可以是原子中的所有電子，還是整個(gè)導(dǎo)體中的電子，或者可以是更大的范圍？

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模型，宇宙中的所有電子（和所有基本粒子）都應(yīng)該具有完全相同的屬性。這意味著對(duì)于電子，泡利不相容原理為“宇宙中沒有 2 個(gè)電子可以占據(jù)相同的狀態(tài)”。

如果你有兩個(gè)相距 1 公里的氫原子，那么兩者都可能有一個(gè)“相同”的電子 $1s$ 狀態(tài)。這僅僅是因?yàn)檫@兩種狀態(tài)不同。雖然他們都是 $1s$ 狀態(tài)，它們與不同的原子相關(guān)聯(lián)。

簡(jiǎn)單來說如果兩個(gè)粒子不在同一個(gè)勢(shì)阱中，則波函數(shù)由第一個(gè)勢(shì)阱的量子數(shù)和第二個(gè)勢(shì)阱的量子數(shù)定義。有相同值的相同“數(shù)字”，但在數(shù)學(xué)上，它們對(duì)應(yīng)于不同的波函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)以不同的原點(diǎn)為中心，因此您可以并排有兩個(gè)處于基態(tài)的氦原子。

在晶體中，情況略有不同，因?yàn)閲?yán)格來說，本征態(tài)是 Bloch 態(tài)，它們?cè)谡麄€(gè)晶體上離域。但是對(duì)于最深的能級(jí)（遠(yuǎn)低于傳導(dǎo)能級(jí)的能級(jí)），位于每個(gè)原子周圍的局部狀態(tài)的圖像并沒有那么偏離。在這種情況下，晶體中的所有原子通常都會(huì)占據(jù)這些狀態(tài)，但這也不與泡利原理相反，因?yàn)檫@些狀態(tài)是可區(qū)分的，因?yàn)樗鼈兣c不同的原子相關(guān)聯(lián)。

“與不同原子相關(guān)聯(lián)”將這些原子與另一個(gè)原子區(qū)分開來指的是，只要一個(gè)原子上的一個(gè)軌道與另一個(gè)原子上的另一個(gè)軌道之間的相互作用項(xiàng)很小，兩個(gè)原子系統(tǒng)的本征態(tài)幾乎可以看作是兩個(gè)獨(dú)立態(tài)的乘積，因此這些狀態(tài)是“不同的”。更直觀的，通過注意它們位置的期望值不同來區(qū)分空間分離的狀態(tài)（例如兩個(gè)不同原子上的狀態(tài)），這意味著它們必然由不同的波函數(shù)描述。

直觀說明不相容原理范圍的最常見方法來自對(duì)白矮星和中子星等超高密度物體的研究。在白矮星中，重力將物質(zhì)擠壓得很厲害，以至于其中的電子波函數(shù)開始重疊——這就是排斥原理起作用的地方，它與重力作斗爭(zhēng)以支撐白矮星并阻止它被壓得更緊了。這種效應(yīng)稱為簡(jiǎn)并壓力，對(duì)它的完整描述將是天體物理學(xué)文本中幾章的長(zhǎng)度。

只有當(dāng)原子被如此緊密地?cái)D壓在一起以致原子內(nèi)的大部分空白空間都被壓縮掉時(shí)，簡(jiǎn)并壓力才會(huì)發(fā)揮作用。實(shí)際上，這意味著簡(jiǎn)并壓力變得重要的距離范圍遠(yuǎn)小于處于未壓縮狀態(tài)的典型原子的尺寸。

自旋統(tǒng)計(jì)定理（Spin–statistics theorem）

在量子力學(xué)中，自旋統(tǒng)計(jì)定理將粒子的固有自旋（不是由軌道運(yùn)動(dòng)引起的角動(dòng)量）與其服從的粒子統(tǒng)計(jì)聯(lián)系起來。以約化普朗克常數(shù) $?$ 為單位，所有在 3 維中移動(dòng)的粒子都具有整數(shù)自旋（integer spin）或半整數(shù)自旋（half-integer spin）。

該定理指出：

• 當(dāng)任意兩個(gè)粒子的位置交換時(shí)，相同整數(shù)自旋粒子系統(tǒng)的波函??數(shù)具有相同的值。在交換下具有對(duì)稱波函數(shù)的粒子稱為玻色子。
• 當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，相同的半整數(shù)自旋粒子系統(tǒng)的波函??數(shù)會(huì)改變符號(hào)。在交換下具有反對(duì)稱波函數(shù)的粒子稱為費(fèi)米子。

換句話說，自旋統(tǒng)計(jì)定理指出整數(shù)自旋粒子是玻色子，而半整數(shù)自旋粒子是費(fèi)米子。

自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系（spin–statistics relation）由 Markus Fierz 于 1939 年首次提出，并由 Wolfgang Pauli 以更系統(tǒng)的方式重新推導(dǎo)。Fierz 和 Pauli 通過列舉所有自由場(chǎng)理論來論證他們的結(jié)果，這些理論的前提是，局部交換（locally commuting）的可觀測(cè)量存在二次形式（quadratic forms），包括正定的（positive difinite）能量密度。Julian Schwinger 在 1950年提供了一個(gè)更具概念性的論點(diǎn)。Richard Feynman 通過要求當(dāng)外部電勢(shì)變化時(shí)散射的幺正性給出了一個(gè)證明，當(dāng)翻譯成場(chǎng)語言時(shí)，它是與勢(shì)耦合的二次算子（quadratic operator）的條件。

費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（Femi-Dirac statistics）

在自由電子氣系統(tǒng)中為何還會(huì)有一個(gè)量子態(tài)/能級(jí)只有一個(gè)電子？
同一個(gè)能級(jí)不能有非常多的量子態(tài)？

為何在考慮金屬中的電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)的時(shí)候，會(huì)用自用電子氣同樣的方法，金屬中的電子哪些在低溫下起熱容量的作用？另外金屬中的電子氣體是否類比為自由電子氣？為何能做此類比，不考慮其與原子及周邊原子的關(guān)聯(lián)了嗎？

復(fù)合費(fèi)米子（Composite fermions）

為何復(fù)合粒子的自旋量子數(shù)滿足簡(jiǎn)單的加減規(guī)律？

復(fù)合粒子（例如強(qiáng)子、原子核和原子）可以是玻色子或費(fèi)米子，具體取決于它們的成分。更準(zhǔn)確地說，由于自旋和統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，包含奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子的粒子本身就是一個(gè)費(fèi)米子。它將有半整數(shù)自旋。

示例包括以下內(nèi)容：

• 重子，例如質(zhì)子或中子，包含三個(gè)費(fèi)米子夸克。
• 碳 13原子的原子核包含六個(gè)質(zhì)子和七個(gè)中子。
• 原子helium-3 ( 3 He) 由兩個(gè)質(zhì)子、一個(gè)中子和兩個(gè)電子組成。
• 氘原子由一個(gè)質(zhì)子、一個(gè)中子和一個(gè)電子組成。
• 由與勢(shì)能結(jié)合的簡(jiǎn)單粒子組成的復(fù)合粒子中的玻色子數(shù)量對(duì)其是玻色子還是費(fèi)米子沒有影響。

復(fù)合粒子（或系統(tǒng)）的費(fèi)米子或玻色子行為僅在大距離（與系統(tǒng)大小相比）處可見。在接近時(shí)，空間結(jié)構(gòu)開始變得重要，復(fù)合粒子（或系統(tǒng)）根據(jù)其組成成分表現(xiàn)。

費(fèi)米子在成對(duì)松散結(jié)合時(shí)會(huì)表現(xiàn)出玻色子行為。這就是氦3超導(dǎo)和超流性的起源：在超導(dǎo)材料中，電子通過聲子的交換相互作用，形成庫珀對(duì)，而在氦3中，庫珀對(duì)是通過自旋漲落形成的。

分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的準(zhǔn)粒子也稱為復(fù)合費(fèi)米子；它們由帶有偶數(shù)個(gè)量子化渦旋的電子組成。

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• 參考資料：

What is the range of Pauli’s exclusion principle？

為什么兩個(gè)電子不能處于同一位置—泡利不相容原理的推導(dǎo)

wiki: Pauli exclusion principle

wiki: Spin–statistics theorem

wiki: Fermion

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泡利不相容原理适用的空间范围（系统）是多大？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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