浅谈P/NP问题
克雷數(shù)學(xué)研究所(Clay Mathematics Institute，CMI)是在1998年由商人蘭頓·克雷(Landon T. Clay)和哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家亞瑟·杰夫(Arthur Jaffe)創(chuàng)立，蘭頓·克雷資助的一家非牟利私營(yíng)機(jī)構(gòu)，總部在麻薩諸塞州劍橋市，機(jī)構(gòu)的目的在于促進(jìn)和傳播數(shù)學(xué)知識(shí)。克雷數(shù)學(xué)研究所給予有潛質(zhì)的數(shù)學(xué)家各種獎(jiǎng)項(xiàng)和資助，該研究所在2000年5月24日公布的七個(gè)千禧年難題，它們是：
（1）霍奇猜想
（2）龐加萊猜想
（3）黎曼假設(shè)
（4）楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)存在性和質(zhì)量間隔假設(shè)
（5）NS方程解的存在性與光滑性
（6）貝赫和斯維訥通-戴爾猜想
（7）P=NP?
這七個(gè)問(wèn)題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問(wèn)題，經(jīng)許多年仍未解決”。解答任何一題的第一個(gè)人將獲頒予一百萬(wàn)美元獎(jiǎng)金，所以這七個(gè)問(wèn)題共值七百萬(wàn)美元。
近20年過(guò)去了，在這7個(gè)問(wèn)題中，只有龐加萊猜想得到了解決。對(duì)于普通的程序員來(lái)說(shuō)，前6個(gè)難題或許過(guò)于遙遠(yuǎn)，但是你一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)NP問(wèn)題的大名。
水滸英雄卡的故事
在我讀高中的時(shí)候，小浣熊干脆面中的水滸英雄卡曾經(jīng)風(fēng)靡一時(shí)。當(dāng)時(shí)1998年央視版的《水滸傳》剛開(kāi)播不久，再加上課本上《魯提轄拳打鎮(zhèn)關(guān)西》和《林教頭風(fēng)雪山神廟》的助攻，同學(xué)們收集英雄卡的熱情空前高漲。
卡片雖然精美，但是每袋干脆面只有一張英雄卡，想要收集齊全頗為不易。一個(gè)快速收集的辦法就是多買干脆面。當(dāng)時(shí)的高中生并沒(méi)有多少零花錢，最富裕的同學(xué)也不過(guò)每天買兩袋。在收集時(shí)也發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)問(wèn)題，如果在同一家店買，那么得到重復(fù)英雄卡的幾率會(huì)大大增加，有個(gè)運(yùn)氣極差的同學(xué)連吃了兩星期干脆面，居然得到了十幾張豹子頭林沖。
住校的同學(xué)紛紛求助于我這種走讀生，于是我每天多了一個(gè)任務(wù)，在上學(xué)路上的每一所食雜店購(gòu)買小浣熊干脆面。
英雄卡的人物漸漸豐富起來(lái)，大家還互相交換，只是到了畢業(yè)，仍然沒(méi)有人把全套英雄卡收集齊全。
回顧水滸英雄卡的故事，無(wú)論是加大購(gòu)買量還是擴(kuò)大購(gòu)買范圍，都很難達(dá)成“收集全套卡片”的最終目標(biāo)，整個(gè)過(guò)程費(fèi)時(shí)費(fèi)力又費(fèi)錢，還需要很大的運(yùn)氣成分。如果沒(méi)有網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)，我甚至都不知道是否真有人能夠集全。
水滸英雄卡的故事就是一個(gè)P/NP問(wèn)題，它的焦點(diǎn)在于，集全英雄卡的過(guò)程是否能夠變得輕而易舉？
這些奇怪的名字
計(jì)算機(jī)可以幫助我們解決很多問(wèn)題，但是仍有一部分問(wèn)題可能永遠(yuǎn)無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到答案，試著解答它們是計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)們的重要挑戰(zhàn)。人們給這類問(wèn)題了一個(gè)奇怪的名字——P/NP問(wèn)題。
P和NP
我們討論的“有效”算法幾乎都是多項(xiàng)式時(shí)間算法，P/NP中的P就是指多項(xiàng)式時(shí)間（Polynomial）。一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題如果能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，它就被稱為P問(wèn)題，這意味著計(jì)算機(jī)很容易求解。
NP問(wèn)題就是除了P問(wèn)題之外的問(wèn)題嗎？如果是就好了。世界總是很復(fù)雜，有時(shí)候我們并不用能證明一個(gè)問(wèn)題能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，同時(shí)也沒(méi)法證明它不能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，也就是說(shuō)這個(gè)問(wèn)題是懸案，在當(dāng)下看起來(lái)沒(méi)法有效解決，但是誰(shuí)也說(shuō)不準(zhǔn)在未來(lái)是否能很容易解決。對(duì)于這類問(wèn)題，簡(jiǎn)單地歸為非P類問(wèn)題就不和合適了，就像我們無(wú)法把建立月球基地和建立銀河星系聯(lián)盟歸為非P類問(wèn)題。
NP問(wèn)題不是非P類問(wèn)題，NP不是“Not P”的意思，NP指非確定性多項(xiàng)式時(shí)間（nondeterministic polynomial）。NP問(wèn)題強(qiáng)調(diào)的不是“是否能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到解”，而是“是否能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證解”，如果一個(gè)問(wèn)題的解可以在多項(xiàng)式的時(shí)間內(nèi)被驗(yàn)證，那么這個(gè)問(wèn)題就是NP問(wèn)題。
我們?cè)?密碼疑云 (3)——詳解RSA的加密與解密?中曾提到了RSA加密機(jī)制的原理：“將兩個(gè)大素?cái)?shù)相乘很容易，但是想要對(duì)它們的乘積進(jìn)行素因子分解卻極其困難”。假如有人告訴你3999991可以分解成兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積，也許你不知道可以分解成哪兩個(gè)素?cái)?shù)，但是如果告訴你這兩個(gè)素?cái)?shù)是1997和2003，那么你很容易計(jì)算出1997×2003=3999991。
大整數(shù)的素因子分解就是典型的NP問(wèn)題，有沒(méi)有多項(xiàng)時(shí)間的分解算法并不重要，重要的是如果有人給了你兩個(gè)素?cái)?shù)，你很容易驗(yàn)證這兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積是否是那個(gè)大整數(shù)。這符合一般的認(rèn)知：在大多數(shù)時(shí)候，驗(yàn)證一個(gè)解比得到一個(gè)解更容易。
既然能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決一個(gè)問(wèn)題，必然也能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證這個(gè)問(wèn)題的解，這意味著所有的P問(wèn)題都是NP問(wèn)題，P∈NP。
P=NP？
大約在公元前4200年，古代埃及人按尼羅河水的漲落和農(nóng)作物生長(zhǎng)的規(guī)律，把一年分為泛濫季、耕種季、收獲季3個(gè)季節(jié)，每季分為4個(gè)月，每月30天，歲末增加5天節(jié)日，共計(jì)365天。
5000多年前，中國(guó)就有《陰陽(yáng)歷》，每年366天。魏晉南北朝（公元220年～公元518年）時(shí)期，祖沖之制定《大明歷》，首次將歲差計(jì)算入內(nèi)，每年365.2428天，與現(xiàn)在的精確測(cè)量值僅相差52秒。
古代瑪雅人已經(jīng)知道了一些天體的精確運(yùn)行周期，他們測(cè)得太陽(yáng)年的長(zhǎng)度是365.2420天，比現(xiàn)代的測(cè)量值365.2422只至少了0.0002天，相當(dāng)于17.28秒。
經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的歲月，不同的文明在不同的時(shí)期分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了地球公轉(zhuǎn)的規(guī)律，從而制定了歷法，這至少?gòu)恼軐W(xué)上證明“歷法”這一概念是真實(shí)存在的。類似地，在不同時(shí)期的人們對(duì)很多不同領(lǐng)域問(wèn)題的研究中，也都不約而同地提出了相同的問(wèn)題——是否所有的NP問(wèn)題都是P問(wèn)題？也就是說(shuō)，是否所有能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證的問(wèn)題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決？這個(gè)問(wèn)題被簡(jiǎn)稱為“P=NP？”
所謂的“P/NP問(wèn)題”，其實(shí)就一句話：證明或推翻P=NP。只要證明一個(gè)任意規(guī)模下的NP問(wèn)題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解，就可以說(shuō)對(duì)于該問(wèn)題P=NP，即該問(wèn)題是一個(gè)P問(wèn)題。
NPC問(wèn)題
我經(jīng)常聽(tīng)到程序員們?cè)谟懻搯?wèn)題時(shí)說(shuō)：“××是NP問(wèn)題，只能用蠻力法。” 程序員們的說(shuō)法并不完全準(zhǔn)確，NP問(wèn)題可沒(méi)有強(qiáng)調(diào)非得用蠻力法，只強(qiáng)調(diào)了在有解的情況下可以輕松地驗(yàn)證解，他們真正指的應(yīng)該是NPC問(wèn)題。
NPC問(wèn)題也稱NP完全問(wèn)題，是NP-Complete的縮寫。NPC問(wèn)題滿足兩點(diǎn)，首先，NPC問(wèn)題肯定也是NP問(wèn)題；其次，所有NP問(wèn)題都能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)規(guī)規(guī)約到NPC問(wèn)題。為什么要將NP問(wèn)題規(guī)約到NPC問(wèn)題呢？這是因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)某些NP問(wèn)題的復(fù)雜性與整個(gè)類的復(fù)雜性相關(guān)聯(lián)，如果這些問(wèn)題中的任何一個(gè)存在多項(xiàng)式時(shí)間的算法，那么所有該類問(wèn)題都是多項(xiàng)式時(shí)間可解的。這也符合常理，NPC問(wèn)題是NP問(wèn)題規(guī)約來(lái)的，所以NPC問(wèn)題的難度一定大于NP問(wèn)題，只要能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決NPC問(wèn)題，那么NP問(wèn)題也能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，此時(shí)NP問(wèn)題也就變成了P問(wèn)題，P=NP。
在《西游記》的第二回中，孫悟空學(xué)成本領(lǐng)回到花果山后，得知很多猴子猴孫被混世魔王擄走，連水簾洞中的石盆、石碗也被搶了去。大怒的孫悟空在混世魔王的老巢將其“照頂門一下，砍為兩段。領(lǐng)眾殺進(jìn)洞中，將那大小妖精，盡皆剿滅。”在解救了眾猴后，對(duì)眾道：
“汝等跟我回去。”眾猴道：“大王，我們來(lái)時(shí)，只聽(tīng)得耳邊風(fēng)聲，虛飄飄到于此地，更不識(shí)路徑，今怎得回鄉(xiāng)？”悟空道：“這是他弄的個(gè)術(shù)法兒，有何難也！我如今一竅通，百竅通，我也會(huì)弄。你們都合了眼，休怕！”
花果山的小猴們顯然沒(méi)法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)“弄的個(gè)術(shù)法兒”，但是能很容易驗(yàn)證“弄的個(gè)術(shù)法兒”的結(jié)果，就是“只聽(tīng)得耳邊風(fēng)聲，虛飄飄到于此地”，因此可以把混世魔王的法術(shù)看作NP問(wèn)題。至于孫悟空，在學(xué)藝時(shí)從沒(méi)把猴子或類似的動(dòng)物攝到空中，只修習(xí)了筋斗云和七十二變，但由于七十二變是高端的NPC法術(shù)，因此“一竅通，百竅通”，不僅能順利地把眾猴帶回花果山，還在后續(xù)的大鬧天宮和西天取經(jīng)路上施展過(guò)諸如三頭六臂、身外身、隱身法、定身術(shù)、元神出竅、法天象地、擔(dān)山趕月等其他NP法術(shù)。
NPC問(wèn)題是在P問(wèn)題與NP問(wèn)題上的一個(gè)重大進(jìn)展，問(wèn)題是，想要在NPC問(wèn)題上找到一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)的算法出奇地困難，難倒人們甚至不相信存在這樣的算法，就像孫悟空的“一竅通，百竅通”一樣，反正我沒(méi)見(jiàn)過(guò)誰(shuí)能做到。
另一個(gè)具有代表性的NPC問(wèn)題是銷售員旅行問(wèn)題(traveling salesman problem)。一個(gè)推銷員要從北京出發(fā)，經(jīng)過(guò)上海、南京、杭州、南昌、廣州等n個(gè)城市，最后返回北京。每?jī)蓚€(gè)城市之間都有直達(dá)的飛機(jī)、高鐵等交通工具。銷售員的交通費(fèi)用預(yù)算是Q，他在每個(gè)城市僅駐留一次，是否存在這樣一個(gè)行程，銷售員既能遍歷所有城市，又能讓總費(fèi)用小于Q？
有人說(shuō)這還不簡(jiǎn)單？從北向南走就好了。現(xiàn)實(shí)生活中也許我也會(huì)這么安排，但是加上預(yù)算費(fèi)用后就不是那么回事了。雖然上海到南京很近，但也許正好有一趟上海到廣州的特價(jià)航班，這時(shí)候又該怎么選擇呢？如果用蠻力法遍歷，3個(gè)城市間會(huì)產(chǎn)生2！種路線，10個(gè)城市會(huì)產(chǎn)生9！=362880種路線，20個(gè)城市會(huì)產(chǎn)生19！≈1.21×1017種路線，在這么多種路線中挑選，簡(jiǎn)直太可怕了。
銷售員旅行問(wèn)題可以規(guī)約為圖論中一個(gè)著名的問(wèn)題，已給一個(gè)n個(gè)點(diǎn)的完全圖（圖中每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間都存在權(quán)值已知的邊），求每個(gè)頂點(diǎn)正好遍歷一次，且總權(quán)值小于某個(gè)值的封閉回路。這是一個(gè)NPC問(wèn)題，迄今為止仍未一個(gè)找到一個(gè)能夠應(yīng)對(duì)大型問(wèn)題的有效算法。正是由于NPC問(wèn)題的存在，才使人們普遍相信P≠NP。
NP-hard
NP-hard問(wèn)題也稱NP難題，從名字就知道，它是NP家族中最難的。NPC問(wèn)題屬于NP-hard問(wèn)題，所以NP-hard問(wèn)題肯定沒(méi)有能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到解算法，至少目前沒(méi)有。NP-hard問(wèn)題之所以hard，是因?yàn)閷?duì)于一些NP-hard問(wèn)題來(lái)說(shuō)，即使給出解，也難以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證，所以NP-hard問(wèn)題未必是NP問(wèn)題。
“難以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到解”容易理解，“即使給出解，也難以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證”又是怎么回事呢？我們把銷售員旅行的問(wèn)題稍作修改，求使銷售員能遍歷所有城市，每個(gè)城市僅駐留一次，且總費(fèi)用最小的行程。首先可以確定至少目前為止還不存在有效的算法，現(xiàn)在給了你一個(gè)解并告訴你這就是最終解，你如何確定它的正確性呢？辦法大概還是遍歷，把這個(gè)解與所有其它行程比對(duì)，從而確定它是否是最優(yōu)的，驗(yàn)證解的復(fù)雜度仍然是n!。
NP、NPC、NP-hard的關(guān)系：
?
如何面對(duì)NP問(wèn)題
從廣義來(lái)說(shuō)，在承認(rèn)P≠NP的前提下，NP問(wèn)題也指難以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解的問(wèn)題（本章所指的NP問(wèn)題都廣義的NP問(wèn)題）。在實(shí)際工作中，我們經(jīng)常會(huì)遇到很難解決的問(wèn)題，如果這些問(wèn)題是NP問(wèn)題，又該怎么辦呢？
琪琳的甜品創(chuàng)新程序
琪琳是“甜品之家”的程序員，她為公司編寫了一個(gè)甜品創(chuàng)新的程序，這個(gè)程序能夠微調(diào)各種配料，找到最具口感的甜品。公司使用這個(gè)程序開(kāi)發(fā)了一系列爆款的產(chǎn)品，大賺了一筆。經(jīng)理最近突發(fā)奇想，打算制作一款“風(fēng)味獨(dú)特”的小甜餅，這款小甜餅不僅能夠滿足所有人的味蕾，甚者能讓一個(gè)獨(dú)眼蛤蟆開(kāi)心地笑起來(lái)。但是這次，被寄予厚望的程序失靈了，這可難壞了琪琳，連續(xù)加班一個(gè)月都沒(méi)有絲毫進(jìn)展。另一公室的劉闖得知了情況，拍拍琪琳的肩膀說(shuō)：“這很明顯是個(gè)NP問(wèn)題，科學(xué)家都不相信有辦法解決。別浪費(fèi)腦細(xì)胞了，咱們一起去打乒乓球吧！” 琪琳恍然大悟，真的去打乒乓球了。沒(méi)過(guò)多久，經(jīng)理就以“工作不負(fù)責(zé)任”為由，扣掉了她的項(xiàng)目獎(jiǎng)金。
7個(gè)應(yīng)對(duì)辦法
對(duì)于NP完全問(wèn)題，雖然我們確信無(wú)法找到一個(gè)快速的解決方案，但生活仍要繼續(xù)，問(wèn)題還是要解決，此時(shí)不妨試試下面的7個(gè)辦法。
1.?縮小問(wèn)題規(guī)模
NP完全問(wèn)題之所以困難，最重要的原因之一就是搜索規(guī)模過(guò)于龐大，因此適當(dāng)?shù)乜s小問(wèn)題規(guī)模就成了需要首先思考的問(wèn)題。
在構(gòu)建機(jī)器學(xué)習(xí)模型時(shí)，經(jīng)常面對(duì)過(guò)于復(fù)雜的數(shù)據(jù)特征，這就需要用到數(shù)據(jù)降維技術(shù)。 數(shù)據(jù)降維，是解決數(shù)據(jù)“維數(shù)災(zāi)難”的有效手段，即通過(guò)某種數(shù)學(xué)變換將原始高維屬性空間轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)低維的“子空間”，從而極大地縮小的原始問(wèn)題的規(guī)模。
實(shí)際上“降維”并不僅僅存在于機(jī)器學(xué)習(xí)和科幻小說(shuō)中，它就在我們身邊。《三國(guó)演義》為我們鋪開(kāi)了近100年的歷史畫卷，這里既有軍閥割據(jù)的混戰(zhàn)，又有政治和軍事的爭(zhēng)斗，更有叱詫風(fēng)云的英雄人物。神奇的是，這些多維度的故事通過(guò)“文字”這一工具實(shí)現(xiàn)了有效的降維，從而有效縮小了問(wèn)題的規(guī)模，最終呈現(xiàn)在平面媒體上。
除了降維外，設(shè)置約束條件也是縮小問(wèn)題規(guī)模的有效手段。
在《三體2·黑暗森林》中，作為“面壁者”邏輯向大史提出了一個(gè)NP問(wèn)題——找一個(gè)二十歲左右的夢(mèng)中女孩兒：
羅輯啜了一口酒，坐到史強(qiáng)身邊：“大史啊，我求你幫個(gè)忙。在你以前的工作中，是不是常常在全國(guó)甚至全世界范圍找某個(gè)人？”“是。我對(duì)此很在行，找人嗎？”“當(dāng)然。那好，幫我找一個(gè)人，一個(gè)二十歲左右的女孩兒，這是計(jì)劃的一部分。國(guó)籍、姓名、住址？都沒(méi)有，她甚至連在這個(gè)世界上存在的可能性都很小。”大史看著羅輯，停了幾秒鐘說(shuō)：“夢(mèng)見(jiàn)的？”羅輯點(diǎn)點(diǎn)頭：“包括白日夢(mèng)。”
這個(gè)“二十歲左右的女孩兒”是邏輯夢(mèng)中的完美女友，人海茫茫，能否找到只能看緣分，甚至是否存在都說(shuō)不準(zhǔn)，估計(jì)絕大多數(shù)人都會(huì)拒絕或敷衍這個(gè)找人的請(qǐng)求。但是閱人無(wú)數(shù)的大史警官并沒(méi)有回絕，而是嘗試讓客戶捋清需求，問(wèn)清這個(gè)女孩的具體長(zhǎng)相、愛(ài)好和其他屬性：
“她是一個(gè)，嗯，東方女孩，就設(shè)定為中國(guó)人吧。”羅輯說(shuō)著，拿出紙和筆畫了起來(lái)，“她的臉型，是這個(gè)樣子；鼻子，這樣兒，嘴，這樣兒，唉，我不會(huì)畫，眼睛……見(jiàn)鬼，我怎么可能畫出她的眼睛？你們是不是有那種東西，一種軟件吧，可以調(diào)出一張面孔來(lái)，按照目擊者描述調(diào)整眼睛鼻子什么的，最后精確畫出目擊者見(jiàn)過(guò)的那人？”
“有啊，我?guī)У墓P記本里就有。”
“那你去拿來(lái)，我們現(xiàn)在就畫！”
大史在沙發(fā)上舒展一下身體，讓自己坐得舒服些，“沒(méi)必要，你也不用畫了，繼續(xù)說(shuō)吧，長(zhǎng)相放一邊，先說(shuō)她是個(gè)什么樣的人。”
羅輯體內(nèi)的什么東西好像被點(diǎn)燃了，他站起來(lái)，在壁爐前躁動(dòng)不安地來(lái)回走著，“她……怎么說(shuō)呢？她來(lái)到這個(gè)世界上，就像垃圾堆里長(zhǎng)出了一朵百合花，那么……那么的純潔嬌嫩，周圍的一切都不可能污染她，但都是對(duì)她的傷害，是的，周圍的一切都能傷害到她！你見(jiàn)到她的第一反應(yīng)就是去保護(hù)她……啊不，呵護(hù)她，讓她免受這粗陋野蠻的現(xiàn)實(shí)的傷害，你愿意為此付出一切代價(jià)！她……她是那么……唉，你看我怎么笨嘴笨舌的，什么都沒(méi)說(shuō)清。”
“都這樣。”大史笑著點(diǎn)點(diǎn)頭，他那初看有些粗傻的笑現(xiàn)在在羅輯的眼中充滿智慧，也讓他感到很舒服，“不過(guò)你說(shuō)得夠清楚了。”
“好吧，那我接著說(shuō)，她……可，可我怎么說(shuō)呢？怎樣描述都說(shuō)不出我心中的那個(gè)她。”羅輯顯得急躁起來(lái)，仿佛要把自己的心撕開(kāi)讓大史看似的。
邏輯提供了一大堆無(wú)助解決問(wèn)題的信息，僅僅是在需求外圍打轉(zhuǎn)，這種場(chǎng)景是否似曾相識(shí)？于是大史開(kāi)始引導(dǎo)邏輯：
大史揮揮手讓羅輯平靜下來(lái)，“算了，就說(shuō)你和她在一起的事兒吧，越詳細(xì)越好。”
羅輯吃驚地瞪大了雙眼，“和她……在一起？你怎么知道？”
大史又呵呵地笑了起來(lái)，同時(shí)四下看了看，“這種地方，不會(huì)沒(méi)有好些的雪茄吧？”
“有有！”羅輯趕忙從壁爐上方拿下一個(gè)精致的木盒，從中取出一根粗大的“大衛(wèi)杜夫”，用一個(gè)更精致的斷頭臺(tái)外形的雪茄剪切開(kāi)頭部，遞給大史，然后用點(diǎn)雪茄專用的松木條給他點(diǎn)著。
大史抽了一口，愜意地點(diǎn)點(diǎn)頭，“說(shuō)吧。”
羅輯一反剛才的語(yǔ)言障礙，滔滔不絕起來(lái)。他講述了她在圖書館中的第一次活現(xiàn)，講述他與她在宿舍里那想象中的壁爐前的相逢，講她在他課堂上的現(xiàn)身，描述那天晚上壁爐的火光透過(guò)那瓶像晚霞的眼睛的葡萄酒在她臉龐上映出的美麗。他幸福地回憶他們的那次旅行，詳細(xì)地描述每一個(gè)最微小的細(xì)節(jié)：那雪后的田野、藍(lán)天下的小鎮(zhèn)和村莊、像曬太陽(yáng)的老人的山，還有山上的黃昏和篝火……
在收集到一些信息后，大史開(kāi)始縮小問(wèn)題規(guī)模，將復(fù)雜的描述拆解成一個(gè)個(gè)定類屬性：
大史聽(tīng)完，捻滅了煙頭說(shuō)：“嗯，基本上夠了。關(guān)于這個(gè)女孩兒，我提一些推測(cè)，你看對(duì)不對(duì)。”
“好的好的！”
“她的文化程度，應(yīng)該是大學(xué)以上博士以下。”
羅輯點(diǎn)頭，“是的是的，她有知識(shí)，但那些知識(shí)還沒(méi)有達(dá)到學(xué)問(wèn)的程度去僵化她，只是令她對(duì)世界和生活更敏感。”
“她應(yīng)該出生在一個(gè)高級(jí)知識(shí)分子家庭，過(guò)的不是富豪的生活，但比一般人家要富裕得多，她從小到大享受著充分的父愛(ài)母愛(ài)，但與社會(huì)，特別是基層社會(huì)接觸很少。”
“對(duì)對(duì)，極對(duì)！她從沒(méi)對(duì)我說(shuō)過(guò)家里的情況，事實(shí)上從未說(shuō)過(guò)任何關(guān)于她自己的情況，但我想應(yīng)該是那樣的！”
“下面的推測(cè)就是猜測(cè)了，錯(cuò)了你告訴我――她喜歡穿那種，怎么說(shuō)呢，素雅的衣服，在她這種年齡的女孩子來(lái)說(shuō)，顯得稍微素了些。”羅輯呆呆地連連點(diǎn)頭，“但總有很潔白的部分，比如襯衣呀領(lǐng)子呀什么的，與其余深色的部分形成挺鮮明的對(duì)比。”
“大史啊，你……”羅輯用近乎崇敬的目光看著大史說(shuō)。
史強(qiáng)揮手制止他說(shuō)下去，“最后一點(diǎn)：她個(gè)子不高，一米六左右吧，身材很……怎么形容來(lái)著，纖細(xì)，一陣風(fēng)就能刮跑的那種，所以這個(gè)兒也不顯得低……當(dāng)然還能想出很多，應(yīng)該都差不離吧。”
羅輯像要給史強(qiáng)跪下似的，“大史，我五體投地！你，福爾摩斯再世啊！”
大史站起來(lái)，“那我去電腦上畫了。”
大史成功地將一個(gè)NP問(wèn)題加上了若干約束條件，最后找到了這個(gè)女孩兒，名字叫莊顏，只是比幻想中的“她”多了淡淡的憂傷。
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2.?繞過(guò)問(wèn)題
在碰到難題時(shí)，除了積極面對(duì)外，我們也應(yīng)當(dāng)思考一下，問(wèn)題是否真的有解決的必要？是否可以繞過(guò)問(wèn)題直指目標(biāo)？
在第一次世界大戰(zhàn)后，法國(guó)為了防止德軍入侵而在其東北邊境地區(qū)構(gòu)筑起了一道有鋼筋混凝土建造而成的防線，防線內(nèi)部擁有各式大炮、壕溝、堡壘、廚房、發(fā)電站、醫(yī)院、工廠等，通道四通八達(dá)，較大的工事中還有有軌電車通道，這就是著名的馬其諾防線。馬其諾防線從1928年起開(kāi)始建造，1940年才基本建成，造價(jià)50億法郎。這道“完全防御”軍事思想的防線被譽(yù)為“不可攻破的防線”。結(jié)果大家都知道了，德國(guó)人沒(méi)有對(duì)著馬其諾防線死磕，而是繞過(guò)防線，率領(lǐng)28個(gè)師穿入阿登山區(qū)進(jìn)攻比利時(shí)、荷蘭和盧森堡，還沒(méi)等法國(guó)人來(lái)得及反應(yīng)，德國(guó)軍隊(duì)就兵臨巴黎城下，法國(guó)投降。
德國(guó)人的目標(biāo)是占領(lǐng)法國(guó)，馬奇諾防線是達(dá)到目標(biāo)途中的一個(gè)難題，這個(gè)難題被輕易地繞開(kāi)了。很多時(shí)候，“搬家”或許比“移山”更有效。
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3.?轉(zhuǎn)換問(wèn)題
另一種值得一試的辦法是把待解決的難題轉(zhuǎn)換成另一個(gè)能夠解決的問(wèn)題。
密碼疑云 (3)——詳解RSA的加密與解密?中，Mallory并沒(méi)有嘗試破解“芒碭山系統(tǒng)”，而是通過(guò)一系列社會(huì)工程學(xué)的知識(shí)騙取了密碼，從而輕易進(jìn)入“號(hào)稱能夠安全運(yùn)行100年”的系統(tǒng)。
最小二乘法（2）——多項(xiàng)式函數(shù)能夠擬合非線性問(wèn)題原理?中，我們介紹了泰勒展開(kāi)，它將一個(gè)難以處理的積分轉(zhuǎn)換成了無(wú)數(shù)個(gè)易于處理的簡(jiǎn)單積分，使用極限的思想求解，達(dá)到化質(zhì)為量的目的。
網(wǎng)絡(luò)流(3)——找到最小st-剪切?中，我們將多源點(diǎn)的押糧問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了標(biāo)準(zhǔn)的最大流問(wèn)題，用已掌握的知識(shí)求解。
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4.?退而求其次
如果在通向目標(biāo)的途中一定要解決某個(gè)NP困難問(wèn)題，那么?搜索的策略（2）——貪心策略、A*搜索詳解(1)——通往基地的最短路線?介紹的一些有啟發(fā)性質(zhì)的算法或許會(huì)提供一些參考；退而求其次(2)——遺傳算法?的遺傳算法還告訴我們，在必要的時(shí)候應(yīng)當(dāng)放棄尋找最優(yōu)解，轉(zhuǎn)而尋找可以接受的較好解。如果考不上清華、北大，其他“985”也不是不可接受。
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5.?依賴計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算
對(duì)于八皇后問(wèn)題，1854年在柏林的象棋雜志上不同的作者發(fā)表了40種不同的解。今天，我們可以通過(guò)近乎蠻力的搜索找到全部的92種解。
1946年誕生的ENIAC，每秒只能進(jìn)行300次各種運(yùn)算或5000次加法。
2019年，美國(guó)的“頂點(diǎn)”，取代“神威太湖之光” 成為“世界第一計(jì)算機(jī)”，其預(yù)算速度為20億億次/每秒。
75年間，計(jì)算機(jī)的速度已經(jīng)得到了極大的提升，雖然NP問(wèn)題仍然是NP問(wèn)題，但是技術(shù)的進(jìn)步給了我們一戰(zhàn)的勇氣，讓我們可以使用蠻力法處理一些中等規(guī)模的問(wèn)題。
處理器運(yùn)算速度的提升帶給了我們更多的可能性。Square公司于1997年在PS上發(fā)行的角色扮演類游戲《最終幻想7》，盡管劇情優(yōu)秀，但畫質(zhì)著實(shí)“感人”，但是在當(dāng)年，那種充滿方塊感的畫面仍然是PS平臺(tái)上不可逾越的經(jīng)典。2019年6月10日，Square Enix公司在美國(guó)洛杉磯舉辦了《最終幻想7》音樂(lè)會(huì)，宣布游戲《最終幻想7：重制版》將于2020年3月3日登陸PS4平臺(tái)，并公布了游戲的宣傳片。在宣傳片中，游戲畫面十分華麗，人物幾可亂真。
計(jì)算機(jī)性能的提升可以幫我們解決相當(dāng)一部分問(wèn)題，這樣看來(lái)，蠻力法也不是那么一無(wú)是處。
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6.?嘗試NC搜索
隨著多核技術(shù)和分布式計(jì)算的發(fā)展，我們似乎更有勇氣碰觸一些過(guò)去的禁地。我們把那些能夠通過(guò)并行計(jì)算快速找到答案的搜索稱為NC搜索。然而遺憾的是，NP問(wèn)題的規(guī)模也在擴(kuò)大，我們今天面對(duì)的問(wèn)題也比過(guò)去復(fù)雜得多，因此NC也不是萬(wàn)能藥。
盡管在未來(lái)，NP是否能用NC仍然不得而知，但是NC搜索可以幫我們快速解決一些小規(guī)模的NP問(wèn)題，或者在可接受的時(shí)間解決一些中等規(guī)模的NP問(wèn)題。
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7.?打乒乓球去吧
當(dāng)上述方案都無(wú)效時(shí)，大概可以打乒乓球去了。
其實(shí)P/NP問(wèn)題并不僅僅是一道數(shù)學(xué)難題，它更像是一種指導(dǎo)思想，一種根據(jù)問(wèn)題的困難程度將問(wèn)題分類的工具。當(dāng)面對(duì)一個(gè)NP完全問(wèn)題時(shí)，我們知道沒(méi)有一個(gè)能夠在所有情況下都解決該問(wèn)題的算法，我們要做的并不死磕硬打，而是找到某些替代方法，做出某些“退而求其次”或“不得已而為之”的選擇。
如果P=NP
美國(guó)科幻作家艾薩克·阿西莫夫的小說(shuō)《永恒的終結(jié)》講訴了一個(gè)關(guān)于時(shí)空的神奇故事：27世紀(jì)，人類在掌握時(shí)間旅行技術(shù)后，創(chuàng)造了“時(shí)空壺”，并成立了一個(gè)叫做“永恒時(shí)空”的組織，在每個(gè)時(shí)代的背后，默默地守護(hù)著人類社會(huì)的發(fā)展。這一系列功勞都?xì)w功于24世紀(jì)的一個(gè)名叫馬蘭松的偉大科學(xué)家，正是他發(fā)明了時(shí)間力場(chǎng)，從而創(chuàng)造了“時(shí)空壺”。盡管馬蘭松的后人們一直在使用“時(shí)空壺”，但并不明白它的運(yùn)作原理，因?yàn)樽鳛椤皶r(shí)間力場(chǎng)”理論基礎(chǔ)的“列斐伏爾方程”在24世紀(jì)還沒(méi)有出現(xiàn)！隨著劇情的推進(jìn)，最終揭示了完整的“因果鏈”——來(lái)自27世紀(jì)的庫(kù)珀為24世紀(jì)帶去了“列斐伏爾方程”，并從此留在24世紀(jì)，最終改名為馬蘭松。
歐幾里得在著作《幾何原本》時(shí)不曾想到會(huì)有內(nèi)角和不等于180°的三角形。1830年前后，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基發(fā)表了關(guān)于非歐幾何的理論，即后來(lái)的羅氏幾何。在這種幾何里，羅巴切夫斯基平行公理替代了歐幾里得平行公理，即存在直線a及不在a上的一點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)至少有兩條直線與a共面且不相交。由此可演繹出一系列全無(wú)矛盾的結(jié)論，并且可以得出三角形的內(nèi)角和小于180°。正是羅氏幾何啟發(fā)了愛(ài)因斯坦，成為發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)。
對(duì)于NP問(wèn)題來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)的是“不確定”是否在能做多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。隨著科技的發(fā)展，過(guò)去“不確定”的問(wèn)題在未來(lái)未必不可觸及。既然P/NP問(wèn)題的解決可能有賴于大幅度提升的理論和技術(shù)，那么我們不妨把希望寄托于未來(lái)，暢想一下P=NP的世界。
如果P=NP，基于NP完全問(wèn)題的密碼大廈將會(huì)瞬間傾塌，安全體系將會(huì)被重構(gòu)；如果P=NP，電子游戲?qū)⒉辉倬窒抻诓邉潕熢O(shè)計(jì)好的劇本，而是像《安德的游戲》中的心理測(cè)試游戲一樣，根據(jù)安德的選擇做出自行演化；如果P=NP，DNA密碼將被破解，生命之謎將被解開(kāi)，人類將得到新一輪的進(jìn)化；如果P=NP，機(jī)器人將被賦予更高級(jí)的智能，《銀河帝國(guó)》將不再是幻想……到了那時(shí)，人類文明應(yīng)當(dāng)通向何方呢？
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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