文章目錄

• Modified Nodal Analysis
• 一、Generating the MNA matrices
• • The A matrix
  • • • Rules for making the G matrix
      • Rules for making the B matrix
      • Rules for making the C matrix
      • Rules for making the D matrix
  • The x matrix
  • • • Rules for making the v matrix
      • Rules for making the j matrix
  • The z matrix
  • • • Rules for making the i matrix
      • Rules for making the e matrix
• 二、A simple example
• • Going through the MNA algorithm
  • How the algotithm relates to basic equations in circuit analysis

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Modified Nodal Analysis

在網絡分析中，會遇到不同類型的網絡元件。對于電路分析，有必要為包含盡可能多的網絡建立方程。建立電路的方程組有多種方法，但他們主要基于電路理論的三種方法：

• 基爾霍夫電壓定律（KVL）
• 基爾霍夫電流定律（KCL）
• 分支結構方程（branch constitutive equations）

方程必須以簡單、全面的方式自動地表述（用計算機程序表示）。一旦公式化，方程組就必須求解。在以此為目的選擇算法時，需要考慮兩個主要方面：精度和速度。簡單地說，Modified Nodal Analysis已經被證明可以完成這些任務。

MNA用于僅包含無源元件，有源元件，獨立電壓源、電流源可以寫成矩陣等式形式：
$$[A]?[x]=[z]$$
對于一個包含N個節點與M個獨立電壓源的電路：

• A 矩陣
  • 矩陣維度為 $(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times (\mathrm{N}+\mathrm{M})$，并且只包含已知量
  • $\mathrm{N}\times \mathrm{N}$部分在矩陣的左上角：
    • 僅包含無源元件
    • 接地的原件僅出現在對角線上
    • 不接地的原件既出現在對角線上，也存在于矩陣的其他位值
  • A矩陣的剩余部分（即N*N部分以外）僅包含1，-1，0（這些值取決于該位置的獨立電壓源和電流源）
• x矩陣
  • 是一個$(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times 1$的向量，包含未知量，包括節點電壓與流入電壓源的電流
  • 上面的N個元素是節點電壓
  • 下面M個元素是流入電壓源的電流
• z矩陣
  • 是一個$(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times 1$的向量，僅包含已知量
  • 上面N個元素是電路中獨立電流源
  • 下面M個元素是電路中獨立電壓源

電路通過簡單的矩陣運算求解：
$$[x]=[A{]}^{?1}?[z]$$
這種方法可能很難通過人工計算，但計算機會容易得多。

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一、Generating the MNA matrices

接下來的部分是通過算法實現MNA。一共需要生成三個矩陣，A、x和z，每個矩陣都是由數個獨立的矩陣組合而成。

The A matrix

A矩陣由四個矩陣（G、B、C和D）組合而成。
$$[A]=\left[\begin{array}{cc}G& B\\ C& D\end{array}\right]$$
A矩陣是$(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times (\mathrm{N}+\mathrm{M})$（N是節點的個數，M是獨立電壓源的個數）：

• G矩陣是$\mathrm{N}\times \mathrm{N}$，由電路原件之間相互連接決定
• B矩陣是$\mathrm{N}\times \mathrm{M}$，由獨立電壓源的連接關系決定
• C矩陣是$\mathrm{M}\times \mathrm{N}$，由獨立電壓源的連接關系決定（B和C是密切相關的，特別是當只考慮獨立來源時）
• D矩陣是$\mathrm{M}\times \mathrm{M}$，當僅考慮獨立（電壓/電流）源時為零矩陣

Rules for making the G matrix

G矩陣是$\mathrm{N}\times \mathrm{N}$，可由兩步生成。

矩陣中對角線上的每個元素等于相應節點上相連的電路元件的電導（電阻的倒數）之和。因此，對角線上的第一個元素是與節點1直接相連的電導之和，對角線上的第二個元素是與第二個節點直接相連的電導之和，以此類推。

非對角線上的元素是每對節點之間的負電導值。因此，節點1和2之間的電導需要放入到G矩陣的$(1,2)$和$(2,1)$。
如果原件直接接地，那么在G矩陣中，該原件僅出現在一個位置上（在對角線上的適當位置）。如果原件沒有接地，那么在G矩陣中，該原件將出現在四個位置上（對角線上的兩個位置（相對應的兩個節點上）和非對角線上的兩個位置）。

Rules for making the B matrix

B矩陣是$\mathrm{N}\times \mathrm{M}$，且僅由0，1和-1組成。矩陣中每個位置對應一個指定的電壓源（第一個維度）或節點（第二個維度）。如果第i個電壓源的正端與節點k相連，則B矩陣的元素$(\mathrm{k}\times \mathrm{i})$是1，如果第i個電壓源的負端與節點k相連，則B矩陣的元素$(\mathrm{k}\times \mathrm{i})$是-1，否則，為0。
如果電壓源未接地，則在B矩陣中出現兩次（在同一列中出現一個1和一個-1）。如果電壓源接地，則僅會在矩陣中出現一次。

Rules for making the C matrix

C矩陣是B矩陣的轉置。當存在非獨立源時，則不是這種關系。

Rules for making the D matrix

D矩陣是$\mathrm{M}\times \mathrm{M}$，為全零陣。當存在非獨立源時，則不是全零陣。

The x matrix

x矩陣包含我們的未知量，并且將被發展為兩個較小的矩陣v和j的組合。它比A矩陣更容易定義。
$$[x]=\left[\begin{array}{c}v\\ j\end{array}\right]$$
x矩陣是$(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times 1$（N是節點數，M是獨立電壓源數）

• v矩陣是$\mathrm{N}\times 1$,包括N個節點的電壓值
• j矩陣是$\mathrm{M}\times 1$,包含M個流入電壓源的電流值

Rules for making the v matrix

v矩陣是$\mathrm{N}\times 1$，由節點電壓構成。v中的每個元素對應于電路中等效節點處的電壓（接地-節點0沒有輸入）。
對于具有N個節點的電路，我們可以得到：
$$[v]=?\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ .\\ .\\ .\\ v_n\end{array}?$$

Rules for making the j matrix

j矩陣是$\mathrm{M}\times 1$，每個電壓源有一個電流輸入。因此，如果有M個電壓源$V_1$、$V_2$一直到$V_M$，$j$矩陣將是：
$$[j]=?\begin{array}{c}{i}_{v_1}\\ i_{v_2}\\ .\\ .\\ .\\ i_{v_n}\end{array}?$$

The z matrix

z矩陣包含獨立的電壓源和電流源，并且有兩個小矩陣i和e構成：
$$[z]=\left[\begin{array}{c}i\\ e\end{array}\right]$$
z矩陣是$(\mathrm{N}+\mathrm{M})\times 1$(N是節點數，M是獨立電壓源的個數)

• i矩陣是$\mathrm{N}\times 1$，包含通過無源元件進入相應節點的電流總和（零或獨立電流源之和）
• e矩陣是$\mathrm{M}\times 1$，保存獨立電壓源的值

Rules for making the i matrix

i矩陣是一個$\mathrm{N}\times 1$矩陣，矩陣的每個元素對應于一個特定的節點。i的每個元素的值由進入相應節點的電流源的總和確定。如果沒有電流源連接到節點，則該值為零

Rules for making the e matrix

e矩陣是一個$\mathrm{M}\times 1$矩陣，矩陣的每個元素的值與相應的獨立電壓源相等

二、A simple example

圖3.1中給出的示例說明了建立MNA矩陣的規則的應用，以及這與電路分析中使用的基本方程的關系。

Going through the MNA algorithm

G矩陣是$2\times 2$，因為除ground作為參考節點外，仍有兩個獨立節點。在對角線上，可以找到連接到節點1和節點2的元素和導體的總和。非對角矩陣項包含兩個節點之間連接的元素的負電導。
$$G=\left[\begin{array}{cc}1/R_1& ?1/R_1\\ ?1/R_1& 1/R_1+1/R_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.2& ?0.2\\ ?0.2& 0.3\end{array}\right]$$
B矩陣（C為B的轉置）是$1\times 2$，因為包含一個電壓源和兩個節點。電壓源$V_1$的正端與節點1相連，所以
$$B=C^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
D矩陣為全零陣，因為電路中沒有有源器件與受控源。
$$D=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]$$
x矩陣為$1\times 3$。MNA方程給出了電路中除參考節點外的每個節點的未知電壓和通過每個電壓源的電流的解。
$$x=?\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i_{V_1}\end{array}?$$
z矩陣是根據規則構建的$1\times 3$的矩陣。上面兩個元素是流入節點1和節點2的電流總和。下面的元素是電壓源的電壓源$V_1$。
$$z=?\begin{array}{c}0\\ I_1\\ U_1\end{array}?=?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}?$$
根據MNA算法，等式可以表示為
$$[A]?[x]=[z]$$
等價于
$$\left[\begin{array}{cc}G& B\\ C& D\end{array}\right]?[x]=[z]$$
根據上式可以擴展為
$$?\begin{array}{ccc}1/R_1& ?1/R_1& 1\\ ?1/R_1& 1/R_1+1/R_2& 0\\ 1& 0& 0\end{array}???\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i_{V_1}\end{array}?=?\begin{array}{c}0\\ I_1\\ U_1\end{array}?$$
要求解的方程組現在由以下矩陣表示法定義。
$$?\begin{array}{ccc}0.2& ?0.2& 1\\ ?0.2& 0.3& 0\\ 1& 0& 0\end{array}???\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i_{V_1}\end{array}?=?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}?$$
利用矩陣轉置求解向量x
$$[x]=[A{]}^{?}1?[z]=?\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i_{V_1}\end{array}?=?\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.6\end{array}?$$
式中的結果表示通過電壓源的電流為0.6A，節點1處的電壓為1V
，節點2處的電壓為4V。

How the algotithm relates to basic equations in circuit analysis

將式中的矩陣表示法擴展為一組方程，可由以下由3個方程組表示。
I: $0=\frac{1}{R_1}?v_1?\frac{1}{R_1}?v_2+i_{V_1}$ KCL at node 1
II: $I_1=?\frac{1}{R_1}?v_1+\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)?v_2$ KCL at node 2
III: $U_1=v_1$ constitutive equation
顯然，方程I和方程II在節點1和節點2處符合基爾霍夫電流定律。最后一個方程就是電壓源的本構方程。有三個未知數$(v_1，v_2和i_{V_1})$和三個方程，因此系統應該是可解的。
等式III表示節點1處的電壓為。將此結果應用于等式II并將其轉置到（節點2處的電壓）得到
$$v_2=\frac{I_1+\frac{1}{R_1}?U_1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=4\mathrm{V}$$
通過電壓源的電流可以使用結果和轉換方程I來計算。
$$i_{V_1}=\frac{1}{R_1}?v_2?\frac{1}{R_1}?v_1=0.6\mathrm{A}$$
如圖所示的小例子，以及將推理轉化為無技巧的數學驗證了MNA算法和經典的電氣手工往往會產生相同的結果

總結

以上是生活随笔為你收集整理的改进的节点分析法（Modified Nodal Analysis）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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