水平集方法[編輯]

水平集方法（Level Set Method） 是一種用于界面追蹤和形狀建模的數值技術.水平集方法的優點是可以在笛卡爾網格（Cartesian grid）上對演化中的曲線曲面進行數值計算而不必對曲線曲面參數化（這是所謂的歐拉法（Eulerian approach））.）.^[1]水平集方法的另一個優點是可以方便的追蹤物體的拓撲結構改變.例如當物體的形狀一分為二，產生空洞，或者相反的這些操作.所有這些使得水平集方法成為隨時間變化的物體建模的有力工具，例如膨脹中的氣囊， 掉落到水中的油滴.

目錄

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• 1?水平集方法
• 2?水平集方程
• 3?歷史
• 4?參閱
• 5?參考文獻

水平集方法[編輯]

水平集方法示例

理解水平集方法的最簡單有效地方式是先學習相應的例子，然后學習技術性很強的定義.右側的圖片示例了水平集的幾個重要思想.在左上角有一個形狀--由一個良性邊界包圍的有界區域.在它的下面，紅色的曲面是相應的水平集函數的圖像,?的某個水平面決定了左上角的形狀，假設其中的藍色平面即為x-y平面，則形狀的邊界可以表示為的零水平集，并且該形狀是平面上滿足大于等于零的點的集合.

在上面的一行，形狀改變其拓撲結構，分裂為兩個形狀.如果用邊界曲線參數表示形狀，這一演化過程是很難表達的.這需要一個算法能夠檢測到形狀分裂的時刻，然后為分裂后的曲線構造新的參數.另一方面，從下面的一行可以看出水平集函數僅僅是向下方移動了一點.由于在直接法中我們需要監視所有形狀可能發生的變化情況，水平集方法處理形狀曲線要比直接方法容易得多.

在二維情況下，水平集方法意味著將平面上的閉曲線?(正如示例中的形狀)表示為二維輔助函數,的零水平集

然后通過函數?隱式的處理曲線.這一函數便被叫做水平集函數.假設在曲線的內部取正值，在曲線的外部取負值.?^[2][3]

水平集方程[編輯]

如果零水平集以速度v沿著其法線運動，這一運動可以表示為水平集函數的哈密頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）:

這是一個偏微分方程，并且可以求得數值解，例如可以在笛卡爾網格上采用有限差分法.

然而，水平集方程的數值解需要復雜的技術.簡單的有限差分法會很快導致不收斂.?迎風方法，諸如Godunov方法前進緩慢;然而在水平對流場中，水平集方法不保持水平集的體積和形狀的守恒.

總結

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