π的莱布尼茨公式
維基百科，自由的百科全書（由于維基被禁，搬到此）
在數學領域，π的萊布尼茨公式說明
  π4​=1 ? 13 + 15 ? 17 + 19 ? ?  {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;} 4π?=1?31?+51??71?+91???
右邊的展式是一個無窮級數，被稱為萊布尼茨級數，這個級數收斂到 π4{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}4π?。它通常也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級數，用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符號可記作：
  π4=∑n=0∞ (?1)n2n+1{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}4π?=n=0∑∞?2n+1(?1)n?
目錄
1 證明
1.1 初等證明
2 參考文獻
3 外部鏈接
證明
考慮下面的幾何數列：
1 ? x2 + x4 ? x6 + x8 ? ?  =  11+x2,∣x∣<1.​{\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!} 1?x2+x4?x6+x8??=1+x21?,∣x∣<1.
對等式兩邊積分可得到反正切的冪級數：
x ? x33 + x55 ? x77 + x99 ? ?  =  tan??1x,∣x∣<1.​{\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}x?3x3?+5x5??7x7?+9x9???=tan?1x,∣x∣<1.
將 x=1x = 1x=1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是π?4π ? 4π?4)。這種推理產生的一個問題是1不在冪級數的收斂半徑以內。因此，需要額外論證當 x=1x = 1x=1時級數收斂到 tan??1(1)\tan^{?1}(1)tan?1(1)。一種方法是利用交替級數判別法，然后使用阿貝爾定理證明級數收斂到 tan??1(1)\tan^{?1}(1)tan?1(1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。
初等證明
考慮如下分解
11+x2  =  1 ? x2 + x4 ? ? + (?1)nx2n  +  (?1)n+1 x2n+21+x2.​{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}1+x21?=1?x2+x4??+(?1)nx2n+1+x2(?1)n+1x2n+2?.
對于∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1，右側的分式是余下的幾何級數的和。然而，上面的方程并沒有包含無窮級數，并且對任何實數 xxx 成立。上式兩端從0到1積分可得：
π4  =  1 ? 13 + 15 ? ? +(?1)n2n+1  +  (?1)n+1​​∫01x2n+21+x2 dx.​{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}4π?=1?31?+51???+2n+1(?1)n?+(?1)n+1∫01?1+x2x2n+2?dx.
當 n→∞​{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}n→∞ 時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茨級數。同時，積分項收斂到 0：
0≤∫01x2n+21+x2 dx≤∫01x2n+2 dx  =  12n+3  →  0​  當n→∞​{\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}\,\, 當 {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} 0≤∫01?1+x2x2n+2?dx≤∫01?x2n+2dx=2n+31?→0當n→∞
這便證明了萊布尼茨公式。
參考文獻
Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.
外部鏈接
Implementation of the Leibniz formula for TI Basic
Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly
補充
π4=∫0111+x2 dx.\frac {\pi}{4}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.4π?=∫01?1+x21?dx.
π2=∫0∞11+x2 dx.\frac {\pi}{2}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.2π?=∫0∞?1+x21?dx.
π=∫?∞∞11+x2 dx.\pi=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.π=∫?∞∞?1+x21?dx.
總結
- 上一篇： csr sha2生成 linux,Ope
- 下一篇： 《破晓》－－许如芸