學習數據結構和算法的第一步（公眾號：IT猿圈）

時間復雜度

最常見的時間復雜度有哪幾種

• 「O(1)」：Constant Complexity 常數復雜度
• 「O(log n)」：Logarithmic ComPlexity 對數復雜度
• 「O(n)」：Linear ComPlexity 線性時間復雜度
• 「O(n^2)」：N square ComPlexity 平方
• 「O(n^3)」：N cubic ComPlexity 立方
• 「O(2^n)」：Exponential Growth 指數
• 「O(n!)」：Factorial 階乘

分析時間復雜度的時候是不考慮前邊的系數的，比如說O(1)的話，并不代表它的復雜度是1，也可以是2、3、4...,只要是常數次的，都用O(1)表示

如何來看一段代碼的時間復雜度？

最常用的方式就是直接看這段代碼，它根據n的不同情況會運行多少次

O(1) $n=100000; echo 'hello';O(?) $n=100000; echo 'hello1'; echo 'hello2'; echo 'hello3';

第一段代碼，不管n是多少，都只執行一次，所以它的時間復雜度就是O(1)。第二個其實也同理，我們不關心系數是多少。雖然第二段代碼會執行3次echo輸出，但是不管n是多少，它都只執行3次，因此它的時間復雜度也是「常數復雜度」，也就是O(1)

在看下邊兩段代碼：

O(n) for($i = 1; $i <= $n; $i++) {echo 'hello'; }O(n^2) for($i = 1; $i <= $n; $i++) {for($j = 1; $j <= $n; $j++) {echo 'hello';} }

這兩段代碼都是隨著n的不同，它執行的次數也在發生變化，第一段代碼執行的次數和n是線性關系的，所以它的時間復雜度是「O(n)」。

第二段代碼是一個嵌套循環，當n為100的情況下，里邊的輸出語句就會執行10000次，因此它的時間復雜度就是「O(n^2)」。如果第二段代碼中的循環不是嵌套的，而是并列的，那么它的時間復雜度應該是O(2n)，因為前邊的常數系數我們不關注，因此它的時間復雜度就是「O(n)」

O(log n) for($i = 1; $i <= $n; $i = $i*2) {echo 'hello'; }O(k^2)fib($n) {if ($n < 2) {return $n;}return fib($n-1) + fib($n-2); }

第一段代碼，當n=4時，循環執行2次，所以循環內部執行的次數和n的關系為log2(n)，因此時間復雜度為對數復雜度「O(logn)」。第二段是一個Fibonacci(斐波拉契)數列，這里是用了遞歸的這種形式，這就牽扯到了遞歸程序在執行的時候，如何計算它的時間復雜度，它的答案是「k^n」，k是一個常數，是一個指數級的，所以簡單的通過遞歸的方式求Fibonacci數列是非常慢的，它是指數級的時間復雜度。具體指數級的時間復雜度是怎么得到的，后邊會詳細說明。下邊看一下各種時間復雜度的曲線

從這張圖中可以看到，當n比較小的時候，在10以內的話，不同的時間復雜度其實都差不多。但是如果當n繼續擴大，指數級的增長是非常快的。因此，當我們在寫程序的時候，如果能優化時間復雜度，比如說從2^n降到n^2的話，從這個曲線來看，當n較大的時候，得到的收益是非常高的。因此這也告訴我們，在平時開發業務代碼的時候，一定要對自己的時間和空間復雜度有所了解，而且是養成習慣，寫完代碼之后，下意識的分析出這段程序的時間和空間復雜度。

從圖中可以看到，如果你的時間復雜度寫砸了的話，其實帶給公司的機器或者說資源的損耗，隨著n的增大的話，是成百上千的增加，而如果你能簡化的話，對公司來說是節約很多成本的

對于不同的程序，在寫法當中完成同樣的目標，它可能會導致時間復雜度的不一樣。下邊看一個簡單的例題

從1加到2一直加到n，求它的和

小學學數學的時候，大家都知道了有兩種方法，方法一的話用程序暴力求解的話，就是從1循環到n累加。這個是一層循環，n為多少，就執行多少次累加，所以它的時間復雜度就是「O(n)」

$sum = 0; for ($i=1; $i <=$n; $i++) {$sum += $i; }

方法二就是使用一個數學的求和公式：

y = n*(n+1)/2

用這個公式，發現程序就只有一行了，所以它的時間復雜度就是O(1)了。所以可以看到，程序的不同方法，最后得到的結果雖然是一樣的，但是它的時間復雜度很不一樣

對于遞歸這種，如何分析時間復雜度？

遞歸的話，關鍵就是要了解它的遞歸過程，總共執行了遞歸語句多少次。如果是循環的話，很好理解，n次的循環就執行了n次。那么遞歸的話，其實它是層層嵌套，其實很多時候，我們就是把遞歸它的執行順序，畫出一個樹形結構，稱之為它的遞歸狀態的遞歸樹。以前邊的求Fibonacci(斐波拉契)數列的第n項為例

Fib：0,1,1,2,3,5,8,13,21...F(n) = F(n-1)+F(n-2)

我之前面試的時候遇到過這么一道題，寫的是最最簡單的用遞歸的方式實現

fib($n) {if($n < 2) {retuen $n;}return fib($n-1)+fib($n-2); }

前邊有說到它的時間復雜度是「O(k^n)」，那么怎么得到的，可以分析一下，假設此時n取6，要計算Fib(6)，就看這段代碼如何執行

所以，如果想計算F(6)就引出兩個分支，F(5)和F(4)，至少多出了兩次運算

如果要計算F(5)可同理得到，需要結算F(4)和F(3)。如果要計算F(4)可同理得到，需要結算F(3)和F(2)。這里就可以看到兩個現象：

• 每多展開一層的話，運行的節點數就是上邊一層的兩倍，第一層只有1個節點，第二層有2個節點，第三層就有4個節點，再下一層就是8個節點。所以它每一層的話，它的節點數，也就是執行次數，是成指數增長的。由此可見，到n的時候，它就執行了2^n次
• 第二個可以觀察到，「有重復的節點」出現在了執行的樹里邊，比如圖中的F(4)和F(3)。如果將這個樹繼續展開，會發現F(4)、F(3)、F(2)都會被計算了很多次

正是因為有這么多大量冗余的計算，導致求6個數的Fibonacci數的話，就變成了2^6次方這么一個時間復雜度。因此在面試中遇到這類題，盡量別用這種方式寫，否則怕是直接涼涼了。可以加一個緩存，把這些中間結果能夠緩存下來（用數組或哈希存起來，有重復計算的數值，再從里邊找），或者直接用一個循環來寫

主定理

介紹一個叫主定理的東西，這個定理為什么重要，就是因為這個主定理的話，其實它是用來解決所有遞歸的函數，怎么來計算它的時間復雜度。主定理本身的話，數學上來證明相對比較復雜（關于主定理可以參考維基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%AE%9A%E7%90%86）

也就是說，任何一個分治或者遞歸的函數，都可以算出它的時間復雜度，怎么算就是通過這個主定理。本身比較復雜的話，那怎樣化簡為實際可用的辦法，其實關鍵就是這四種，一般記住就可以了

一般在各種遞歸的情形的話，有上邊這四種情形，是在面試和平時工作中會用上

「二分查找(Binary search)」：一般發生在一個數列本身有序的時候，要在有序的數列中找到目標數，所以它每次都一分為二，只查一邊，這樣的話，最后它的時間復雜度是「O(logn)」

「二叉樹遍歷(Binary tree traversal)」：如果是二叉樹遍歷的話，它的時間復雜度為「O(n)」。因為通過主定理可以知道，它每次要一分為二，但是每次一分為二之后，每一邊它是相同的時間復雜度。最后它的遞推公式就變成了圖中T(n)=2T(n/2)+O(1)這樣。最后根據這個主定理就可以推出它的運行時間為O(n)。當然這里也有一個簡化的思考方式，就是二叉樹的遍歷的話，會「每一個節點都訪問一次，且僅訪問一次，所以它的時間復雜度就是O(n)」

「二維矩陣(Optimal sorted matrix search)」：在一個排好序的二維矩陣中進行二分查找，這個時候也是通過主定理可以得出時間復雜度是「O(n)」，記住就可以了

「歸并排序(merge sort)」：所有排序最優的辦法就是「nlogn」，歸并排序的時間復雜度就是O(nlogn)

常見的關于時間復雜度的面試題

「二叉樹的遍歷-前序、中序、后序：時間復雜度是多少？」

答案是：「O(n)」，這里的n代表二叉樹里邊樹的節點的總數，不管是哪種方式遍歷，每個節點都有且僅訪問一次，所以它的復雜度是線性于二叉樹的節點總數，也就是O(n)

「圖的遍歷：時間復雜度是多少？」

答案：「O(n)」，圖中的每一個節點也是有且僅訪問一次，因此時間復雜度也是O(n)，n為圖中的節點總數

「搜索算法：DFS(深度優先)、BFS(廣度優先)時間復雜度是多少？」

答案：「O(n)」，后邊的文章會詳細介紹這兩種算法(n為搜索空間中的節點總數)

「二分查找：時間復雜度是多少？」

答案：「O(logn)」

空間復雜度

空間復雜度和時間復雜度的情況其實類似，但是它更加的簡單。用最簡單的方式來分析即可。主要有兩個原則：

如果你的代碼中開了數組，那么數組的長度基本上就是你的空間復雜度。比如你開了一個一維的數組，那么你的空間復雜度就是O(n)，如果開了一個二維的數組，數組長度是n^2，那么空間復雜度基本上就是n^2

如果是有遞歸的話，那么它遞歸最深的深度，就是你空間復雜度的最大值。如果你的程序里邊遞歸中又開了數組，那么空間復雜度就是兩者的最大值

在快速變化的技術中尋找不變，才是一個技術人的核心競爭力。知行合一，理論結合實踐

總結

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