实数系的基本定理_初中篇1|知实数-为什么0.9的循环等于1？
(初一下學(xué)期)弘毅: 為什么0.9的循環(huán)等于1?
我：說來話長，你坐下聽我慢慢說。
摘要：1. 該問題的普遍性2. 有理數(shù)3. 從有理數(shù)到實數(shù)4. 真正理解實數(shù)-極限與拓撲5. 關(guān)于高中及以前的數(shù)學(xué)-結(jié)合自身需求
這是一個好問題，恭喜你已經(jīng)成為一個愛思考的人類！
1. 該問題的普遍性
其實不只是你說的這個，除了0，其它任何一個有限小數(shù)都有兩種表示方法:
比如2. 有理數(shù)
首先說說我們認識實數(shù)的過程。在遠古時代，人類發(fā)明任何文字之前，人類就已經(jīng)通過我們的兩只手兩只腳學(xué)會了1，2，3，4。從4到一般的正整數(shù)是人類的第一次抽象思維活動，開始用手指或者小石頭來表示更多的正整數(shù)，以及后來的二進制，六十進制和十進制等。
千萬不要小看從4到更大的正整數(shù)，以及正整數(shù)的十進制表示，這兩步都是花費了很長的時間進化而來。
從每個人之從嬰兒慢慢長大的進程可窺視人類發(fā)展的一部分進程規(guī)律。比如從一兩歲的小孩學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)也能看到一些縮影，有不少小孩在數(shù)數(shù)上有困難，而更多小孩在整數(shù)相加減的進位退位上有困難。
假設(shè)我們已經(jīng)學(xué)會了整數(shù)的加減乘，現(xiàn)在來學(xué)習(xí)除法。把1分成2份，我們很快發(fā)現(xiàn)這不是一個整數(shù)，于是你在學(xué)校學(xué)會了一個新的記號
, 老實說只看這個新的記號，其實你還是不知道它是什么東西，再后來你就學(xué)習(xí)了這里要講的重點了:實數(shù)的小數(shù)表示。你學(xué)到了利用正整數(shù)的十進制和除法規(guī)則，得到它的小數(shù)表示為
。3. 從有理數(shù)到實數(shù)
到了初中，你開始知道什么是有理數(shù)，什么是無理數(shù)了。
然后你的老師就開始給你強制灌輸一些定理了:
任何一個有理數(shù)的小數(shù)表示要么是有限長度要么是無限循環(huán)的，反過來任何一個這樣表示的小數(shù)一定是有理數(shù)。注意:這里沒說一個有理數(shù)是不是就只有一種小數(shù)表示。
無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。
到目前為止，相當(dāng)于把有理數(shù)這個數(shù)的概念擴充到了實數(shù)，這叫概念的延拓，在數(shù)學(xué)中非常普遍。
在無理數(shù)被發(fā)現(xiàn)之前，人們就把有理數(shù)叫數(shù)，有了無理數(shù)才有有理數(shù)的叫法，在虛數(shù)被發(fā)現(xiàn)之前實數(shù)就是數(shù)，有了虛數(shù)才有實數(shù)的叫法。
這里的做法就是從有限長度或者無限循環(huán)小數(shù)推廣到任意小數(shù)。
這種處理方法到目前為止，其實只有一個好處，那就是在近似計算或者粗略比較大小的時候，把無限長度的小數(shù)近似到滿意的位數(shù)得到一個粗略的答案。
這對于一個初中生理解整個實數(shù)集是一種非常經(jīng)濟的方式，性價比是不錯的。但對于好學(xué)嚴謹?shù)膶W(xué)生來講，這是不夠的。
因為從邏輯上來講，它其實沒有太大幫助。它只是告訴你一個表達方式，而在數(shù)學(xué)上或者自我要求比較高的人的內(nèi)心深處，它依然沒有告訴你這樣表達的小數(shù)到底是什么。
首先涉及到無限位數(shù)，不論循環(huán)還是不循環(huán)小數(shù)，這都不是現(xiàn)在就能理解的事情。
而且你的老師馬上就會說:
有理數(shù)的關(guān)于相反數(shù)，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數(shù)也同樣適用。這時候，你的內(nèi)心是崩潰的，尼瑪，一個無限不循環(huán)小數(shù)跟另一個小數(shù)(有理或者無理)要怎么相加減呢？
4. 真正理解實數(shù)-極限與拓撲
要完全理解實數(shù)，以及證明下面的:
有理數(shù)的關(guān)于相反數(shù)，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數(shù)也同樣適用。那必須運用極限。
將所有無限位的小數(shù)看成一個無限求和，即級數(shù)，這在大一高數(shù)(或者數(shù)分)中可以學(xué)到。
比如 定義成 ，就這個式子而言，高一學(xué)了等比數(shù)列求和公式后，你就可以得到實際上，
對任何一個無限小數(shù) ，我們都可以用級數(shù) 來表示，由于 ,我們有 。由單調(diào)有界定理知道，級數(shù) 是收斂的。即用無限小數(shù) 表示一個實數(shù)的方式的確是合理的。其實極限的思想和概念是很直觀和初等的，無論是幾千年的古人，比如莊子的'一尺之棰，日取其半，萬世不竭'，還是目前讀小學(xué)初中的現(xiàn)代小孩，理解起來都是很自然的。
但是極限的數(shù)學(xué)定義是非常繁瑣的，極限的嚴格的數(shù)學(xué)定義是花費了好多代一流數(shù)學(xué)家的艱苦工作的，從牛頓萊布尼茨提出并應(yīng)用微積分開始直到柯西等人才真正完成。
Newton-From Wikipedia, the free encyclopediaLeibniz-From Wikipedia, the free encyclopedia有了極限的強大工具，你會發(fā)現(xiàn)每個無理數(shù)都是一列有理數(shù)的極限。
利用極限的性質(zhì)，你可以很方便的證明你老師說的:
有理數(shù)的關(guān)于相反數(shù)，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數(shù)也同樣適用。歸根結(jié)底，我們可以很好的理解有限，但是無限讓我們困惑，猶豫不決或者魯莽而容易犯錯。
極限就是一座寶貴的橋梁讓我們從有限走到無限，化無限為有限。
隨著你對數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，其實你會發(fā)現(xiàn)實數(shù)集是一個非常豐富的系統(tǒng)。
首先它有很好的序結(jié)構(gòu)，即大小關(guān)系，任何兩個實數(shù)都可以比較大小。而復(fù)數(shù)就沒有這么好的序結(jié)構(gòu)，隨便兩個復(fù)數(shù)是無法比較大小的；
其次是很好的拓撲結(jié)構(gòu)，比如它是完備的，粗略的講就是它的極限是封閉的。而有理數(shù)集就不是，因為有理數(shù)列的極限可以是無理數(shù)；
最后是很好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，實數(shù)的加法，乘法這兩個代數(shù)運算讓它成為一個域。
幾乎所有的數(shù)學(xué)分支都離不開其研究對象的序結(jié)構(gòu)，拓撲結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如我們這里要強調(diào)的就是實數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)。
5. 關(guān)于高中及以前的數(shù)學(xué)-結(jié)合自身需求
實際上高中及以前的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不系統(tǒng)和不嚴格的，粗略的講它是以一種高性價比的方式來處理的。
因為高中畢業(yè)基本上處于成年分界線的年齡，所以高中及以前算是未成年。一是要學(xué)的內(nèi)容太多，有語文，英語等其它課程，二是該年齡段的心智特點一般而言很難從事專業(yè)深入的研究工作.
比如你能為了一個看上去很小的數(shù)學(xué)問題而坐下來思考6個小時，直到你滿意為止嗎？有少數(shù)人就能，對，沒錯，這少數(shù)人一般數(shù)學(xué)都很好。
比如宇宙無敵的陶哲軒(Terence Tao)，12-13歲就學(xué)完了微積分等大學(xué)數(shù)學(xué)課程，21歲普林斯頓博士畢業(yè)，24歲正教授，31歲菲爾茲獎，想都不敢想......所以你要結(jié)合自己的需求，你要和自己在適當(dāng)?shù)某潭冗_成和解，清楚的告訴自己在什么程度就可以讓自己滿意了，對這個問題放手，繼續(xù)往前走！
比如, 一個經(jīng)濟但不嚴格的做法，你可以用:令 ，則 ，進而 .
如果你是一個普通的愛好者，到此就很好了，屬于媽媽心中的聰明孩子；
如果你會求
的極限(等比數(shù)列求和的極限)，那就屬于很厲害的角色了，可以參加數(shù)學(xué)競賽，是媽媽心中別人家的孩子；如果你能由此而引發(fā)去學(xué)習(xí)一般的極限概念，了解實數(shù)系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)，那你就是王者，媽媽只會跟你說不要太累，絕對不會催你學(xué)習(xí)。
說不定，你就是下一個陶哲軒了！
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的实数系的基本定理_初中篇1|知实数-为什么0.9的循环等于1？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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