1. Perona-Malik方程

之前所使用的線性擴散圖像濾波會對整幅圖像“一視同仁”，不管是邊緣紋理還是其他結構都會等同于噪聲一起濾除。這會使圖像過于平滑而且丟失很多高頻信息。如果我們使用非線性擴散的方法，即：傳導系數會隨著圖像的局部特征改變而改變，例如在圖像平滑區域傳導系數自適應增大可以更好的濾除噪聲，在圖像的邊緣紋理區域系數自適應減小可以更好的保存圖像邊緣。

首先，PM擴散方程為：它的來源是將梯度的模值信息融合到傳輸系數中，并帶入公式（5）可得：

其中

為梯度的模值： ， 為邊緣函數，或者邊緣停止函數。常用的邊緣函數比如：

這里K是選定的常數，作用是控制g的下降速率。下圖為p=1的條件下K=10, 20的下降曲線。

由于在圖像的邊緣中梯度的模值

取得極大值，而優化公式整體是求極小值的，為了避免在優化公式中引入負號，因此要引入一個單調遞減而且是非負的邊緣函數 ，它可以保證在 取得極大值時， 取得局部極小值。它最早在圖像分割和邊緣檢測問題中被提出，由于該函數的性質是可以將方程的解向著梯度變大的方向移動，最終停止在圖像的邊緣上，因此也被稱為邊緣停止函數。

2. P-M方程行為分析

首先將P-M方程簡化為一維的情況分析：

其中

的下角標表示對某個變量求導。 稱之為影響函數。將（11）式中的g(-)函數帶入可得：

下面是

的函數曲線圖：

當p=1時， 從最大值1單調遞減到0，而且始終保持正值，因此這種情況下的（12）式總保持正向擴散。

當p=2時， 這個不等式說明在梯度較小的圖像平滑區域，即： 時，導數大于0為正向擴散。在梯度較大的邊緣紋理區域，導數小于0為反向擴散。反向擴散的含義是：雜質將從濃度低的地方流向濃度高的地方，這意味著圖像邊緣的銳化。

在后面二維P-M方程的分析中，可以得出結論：當選用合適的邊緣函數g時，P-M方程可以自適應的實現圖像去噪和邊緣增強的效果。

3. P-M方程的病態性質

數學研究表示（1）式給出的初值的P-M方程極有可能是病態的。如果定義下面這個能量泛函：

其中

是一個非負函數而且在0處取得的值為0。那么依據變分原理，最小化該能量泛函對應的梯度下降流為：

如果將

改寫為: ，那么（5）式就和（1）式完全一致。也就是說P-M方程可以看做是（4）式能量泛函的梯度下降流。其邊緣函數g由（4）式中的 函數決定。再與式（3）做比較可得函數的 的導數就是前面所定義的 ：

4. P-M方程的正則化

一般來說，病態問題都是一個方程對應著多個解，因此需要用正則化的方法使它變成一個適定問題（well-posed）。有研究者提出一種新的改進方案為：

其中

表示方差為 的Gaussian函數，（7）式稱之為正則化的P-M方程，或者叫CLMC模型。

5.P-M方程求解代碼

搬運自：數字圖像處理，基于PM和Catte模型各向異性擴散的C++實現_EbowTang的練習場-CSDN博客?blog.csdn.net公式分析參考：各向異性擴散PM模型原理與C++實現_cyh706510441的專欄-CSDN博客?blog.csdn.netfunction diff_im = anisodiff2D(im, num_iter, delta_t, kappa, option) %ANISODIFF2D 經典PM模型的各向異性擴散 % DIFF_IM = ANISODIFF2D(IM, NUM_ITER, DELTA_T, KAPPA, OPTION) % 該函數執行灰度圖像上的各向異性擴散(經典PM模型)，被認為是一個二維的網絡結構的8個相鄰節點的擴散傳導。 % % 參數描述: % IM - 灰度圖 (MxN). % NUM_ITER - 迭代次數 % DELTA_T - 積分常數 (0 <= delta_t <= 1/7).通常情況下，由于數值穩定性，此參數設置為它的最大值。 % KAPPA - 控制傳導的梯度模閾值。控制平滑。 % OPTION - 傳導系數函數選擇（Perona & Malik提出）: % 1 - c(x,y,t) = exp(-(nablaI/kappa).^2), % privileges high-contrast edges over low-contrast ones. % 2 - c(x,y,t) = 1./(1 + (nablaI/kappa).^2), % privileges wide regions over smaller ones. % % 輸出描述: % DIFF_IM - 具有最大尺度空間參數的（擴散）圖像。 % % 使用例子： % ------------- % s = phantom(512) + randn(512); % num_iter = 15; % delta_t = 1/7;%越大越平滑 % kappa = 30;%越大越平滑 % option = 2; % ad = anisodiff2D(s,num_iter,delta_t,kappa,option); % figure, subplot 121, imshow(s,[]), subplot 122, imshow(ad,[]);% 轉換輸入圖像類型為double. im = double(im);% PDE（偏微分方程）的初始條件。 diff_im = im;% 中心像素距離。 dx = 1; dy = 1; dd = sqrt(2);% 二維卷積掩模-8個方向上的梯度差分。 hN = [0 1 0; 0 -1 0; 0 0 0]; hS = [0 0 0; 0 -1 0; 0 1 0]; hE = [0 0 0; 0 -1 1; 0 0 0]; hW = [0 0 0; 1 -1 0; 0 0 0]; hNE = [0 0 1; 0 -1 0; 0 0 0]; hSE = [0 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]; hSW = [0 0 0; 0 -1 0; 1 0 0]; hNW = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 0];% 各向異性擴散 for t = 1:num_iter% 8個方向梯度差分. [imfilter(.,.,'conv') 也可以使用 conv2(.,.,'same')]nablaN = imfilter(diff_im,hN,'conv');nablaS = imfilter(diff_im,hS,'conv'); nablaW = imfilter(diff_im,hW,'conv');nablaE = imfilter(diff_im,hE,'conv'); nablaNE = imfilter(diff_im,hNE,'conv');nablaSE = imfilter(diff_im,hSE,'conv'); nablaSW = imfilter(diff_im,hSW,'conv');nablaNW = imfilter(diff_im,hNW,'conv'); % 擴散函數if option == 1cN = exp(-(nablaN/kappa).^2);cS = exp(-(nablaS/kappa).^2);cW = exp(-(nablaW/kappa).^2);cE = exp(-(nablaE/kappa).^2);cNE = exp(-(nablaNE/kappa).^2);cSE = exp(-(nablaSE/kappa).^2);cSW = exp(-(nablaSW/kappa).^2);cNW = exp(-(nablaNW/kappa).^2);elseif option == 2cN = 1./(1 + (nablaN/kappa).^2);cS = 1./(1 + (nablaS/kappa).^2);cW = 1./(1 + (nablaW/kappa).^2);cE = 1./(1 + (nablaE/kappa).^2);cNE = 1./(1 + (nablaNE/kappa).^2);cSE = 1./(1 + (nablaSE/kappa).^2);cSW = 1./(1 + (nablaSW/kappa).^2);cNW = 1./(1 + (nablaNW/kappa).^2);end% 離散偏微分方程的解決方案diff_im = diff_im + ...delta_t*(...(1/(dy^2))*cN.*nablaN + (1/(dy^2))*cS.*nablaS + ...(1/(dx^2))*cW.*nablaW + (1/(dx^2))*cE.*nablaE + ...(1/(dd^2))*cNE.*nablaNE + (1/(dd^2))*cSE.*nablaSE + ...(1/(dd^2))*cSW.*nablaSW + (1/(dd^2))*cNW.*nablaNW );% 迭代的警告fprintf('rIteration %dn',t); end

總結

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