實驗4 插值擬合與最優化實驗目的：

1、了解插值和擬合的基本思想；

2、掌握用matlab軟件插值和擬合的命令；

3、掌握用matlab軟件求解線性規劃、二次規劃的命令。

實驗內容：

一維多項式插值

由已知數據點出發構造出次插值多項式，進而通過多項式求出處的函數值()，在Matlab中的命令為：

；

；

注意：代表線性插值，此處也可換為(立方插值)，(三次樣條插值)，(最鄰近插值)，也可以不寫，系統默認為。

在大多數情況下，線性插值就已經足夠了。

例1 根據下函數表，求四次插值多項式，并用其計算和的近似值。

1.615

1.634

1.702

1.828

1.921

2.41450

2.46459

2.65271

3.03035

3.34066

解：輸入matlab命令

xp=[1.615,1.634,1.702,1.828,1.921];

yp=[2.41450,2.46459,2.65271,3.03035,3.34066];

y1=interp1(xp,yp,1.682)

y2=interp1(xp,yp,1.813)

所以結果為：。

多項式擬合

；

；

例2 已知熱敏電阻數據：

溫度

20.5

32.7

51.0

73.0

95.7

電阻

765

826

873

942

1032

求時的電阻R。

解,先對數據點作圖，可以看出數據點的分布近似為直線，所以選取基函數，其中和為待定系數。

于是輸入matlab命令：

xp=[20.5,32.7,51.0,73.0,95.7];

yp=[765,826,873,942,1032];

a=polyfit(xp,yp,1)

R=polyval(a,60)

輸出結果為a = 3.3987 702.0968

R = 906.0212

即擬合多項式為，且時的電阻

R＝906.0212。

線性規劃的matlab實現

matlab中，實現線性規劃的函數是linprog,其所解決的模型為

linprog函數的命令格式為：

(1)

%求無等式約束，對x也無范圍要求的最優解。

(2)

%有等式約束，此時若無不等式約束，

則 。

(3)

%指定x的范圍，此時若無等式約束，則。

(4)

%預先設置初始解向量，此時若x無范圍要求，

則。

(5)

%設置指定的優化參數options。

(6)

%在求解向量x的同時返回目標函數f的最優值。

即。

例3 求解線性規劃問題：

解：考慮到函數求解線性規劃的標準形式為,

所以先要將線性規劃變換為：

然后輸入matlab文件如下：

c=[-3;1;1];

A=[1,-2,1;4,-1,-2];

b=[11;-3];

Aeq=[2,0,-1];

beq=[-1];

xlb=[0;0;0];

[x,f]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,xlb,[])

輸出結果為：x = 4.0000

1.0000

9.0000

f＝－2.0000

所以線性規劃的最優解為，

此時目標函數的最大值為2。

二次規劃的matlab實現

matlab中，實現線性規劃的函數是quadprog,其所解決的模型為

linprog函數的命令格式為：

x=quadprog(H,c,A1,b1)

[x,fv,ef,out,lag]=quadprog(H,c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0,opt)

例4 求解二次規劃問題：

解：輸入如下程序

H=[4 -3;-3 6];

c=[-3 1];

A1=[-2 1;1 -3];

b1=[3 3];

A2=[1 2];

b2=3;

v1=[2 -inf];

v2=[inf 0];

[x,fv,ef,out,lag]=quadprog(H,c,A1,b1,A2,b2,v1,v2)

練習：

1、在某化學反應里，根據實驗所得分解物的濃度與時間關系如下：

時間

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

濃度

0

1.27

2.16

2.86

3.44

3.87

4.15

4.37

4.51

4.58

4.62

4.64

試研究濃度與時間的關系。

2、丙烷的導熱系數是化工生產中值得注意的量，而且常常需要在不同溫度及壓力下的導熱系數，然而我們不可能也沒有必要實際測量出每一個條件下的導熱系數，經過實驗測得以下數據：

68

9798.1

13324

0.0848

0.0897

106

9798.1

14277

0.0696

0.0753

87

9007.8

13355

0.0762

0.0807

140

9656.3

12463

0.0611

0.0651

表中的T，P，K分別表示溫度、壓力、導熱系數，并假設在這個范圍內導熱系數近似的隨壓力線性變化，求壓力是溫度下的導熱系數。

3、某部門有3個生產同類產品的工廠A1,A2,A3，生產的產品由4個銷售點B1,B2,B3,B4出售，各工廠的生產量，各銷售點的銷售量(單位均為t)以及各工廠到各銷售點的單位運價(元/t)的所有數據列表如下：

B1

B2

B3

B4

產量

A1

4

12

4

11

16

A2

2

10

3

9

10

A3

8

5

11

6

22

銷量

8

14

12

14

48

問如何調運才能使總運費最小？

4、某工廠生產甲，乙兩種同類產品，需要用到三種原料。兩類產品中每單位的產品對三種原料有不同的需求量，其數據由下表所示：

原料

甲

乙

原料可供應量

第一種原料(kg)

1

1

3500

第二種原料(kg)

1

0

1500

第三種原料(kg)

5

2

10000

單位產品利潤(元)

5

3

問如何安排生產使利潤最大？

總結

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