【數(shù)學(xué)知識】非線性方程求解的二分法以及牛頓迭代法

本博客不談及理論推導(dǎo)，只提供代碼實(shí)現(xiàn)，關(guān)于理論推導(dǎo)，大家可以查看其它博客文章。

導(dǎo)入包

import sys

import math

import sympy as sp

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline

二分法

class ConditionError(Exception):

def __init__(self,ErrorInfo):

super().__init__(self)

self.errormsg = ErrorInfo

def __str__(self):

return self.errormsg

def BisectionMethod(f,a,b,err=1e-5,max_iter=100):

'''A root-finding method:Bisection method.

Args

----------

f: callable function

The nonlinear function to be solved.

a,b: float

The initial interval, which satisfies the condition:a

err: float

Tollerence of the result.

max_iter: int

Maximun iterations.

Outs

----------

x0: float

The root between interval [a,b].

tol: float

Tollerence of the result.

iters:

Number of iterations when the method stopped.

'''

if a>b:

raise ConditionError('Wrong interval setup,it must be: a

if (f(a)>0 and f(b)>0) or (f(a)<0 and f(b)<0):

print("Can't find the root of function as the condition is insurficient!")

n = 1

while n

c = (a+b)/2

print("n={},c={}".format(n,f(c)))

if f(c)==0 or (b-a)/2

x0=c

break

n += 1

if f(a)*f(c)>0:

a = c

else:

b = c

print("求解結(jié)果：n={},tol={},x0={}".format(n,abs(f(x0)),x0))

tol, iters = abs(f(x0)), n

return x0,tol,iters

問題1

求解方程

(x+5)(x?1)(x?3)=0(x+5)(x-1)(x-3)=0(x+5)(x?1)(x?3)=0

求解步驟:

1、畫圖確定根的大致位置，選擇根的初始區(qū)間[a,b]

2、使用二分法函數(shù)BisectionMethod進(jìn)行求解

def f(x):

'''Nonlinear function to be solved

$f(x)=(x+5)(x-1)(x-3)$

'''

return (x+5)*(x-1)*(x-3)

x = np.linspace(-6, 6, num = 1000)

y = f(x)

plt.plot(x,y)

ax = plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none') # 將右邊 上邊的兩條邊顏色設(shè)置為空 其實(shí)就相當(dāng)于抹掉這兩條邊

ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.yaxis.set_ticks_position('left') # 指定下邊的邊作為x軸 指定左邊的邊為y軸

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) #指定data設(shè)置的bottom(也就是指定的x軸)綁定到y(tǒng)軸的0這個(gè)點(diǎn)上

ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

BisectionMethod(f,-7,4,err=1e-5)

n=1,c=39.375

n=2,c=28.546875

n=3,c=-35.712890625

n=4,c=2.945556640625

n=5,c=-14.629669189453125

n=6,c=-5.418788909912109

n=7,c=-1.1327033042907715

n=8,c=0.9321668744087219

n=9,c=-0.09380341321229935

n=10,c=0.4207942122593522

n=11,c=0.16389898478519171

n=12,c=0.03514874020766001

n=13,c=-0.029302090633791522

n=14,c=0.002929635346163195

n=15,c=-0.01318464989051904

n=16,c=-0.005127112848040127

n=17,c=-0.0010986401466772655

n=18,c=0.000915522250586609

n=19,c=-9.155278530671024e-05

n=20,c=0.0004119862733211405

n=21,c=0.00016021712917794583

求解結(jié)果：n=21,tol=0.00016021712917794583,x0=-4.999996662139893

(-4.999996662139893, 0.00016021712917794583, 21)

BisectionMethod(f,0,2,err=1e-5)

n=1,c=-0.0

求解結(jié)果：n=1,tol=0.0,x0=1.0

(1.0, 0.0, 1)

BisectionMethod(f,2,4,err=1e-5)

n=1,c=0.0

求解結(jié)果：n=1,tol=0.0,x0=3.0

(3.0, 0.0, 1)

編程作業(yè)

使用二分法求解以下方程的根：

x2?ex=0x^2-e^x=0x2?ex=0

# 請?jiān)诖藚^(qū)域書寫求解代碼

牛頓迭代法

使用到包sympy

sympy教程：https://geek-docs.com/python/python-tutorial/python-sympy.html

SymPy 是用于符號數(shù)學(xué)的 Python 庫。 它旨在成為功能齊全的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)。 SymPy 包括從基本符號算術(shù)到微積分，代數(shù)，離散數(shù)學(xué)和量子物理學(xué)的功能。 它可以在 LaTeX 中顯示結(jié)果。

SymPy 是使用pip install sympy命令安裝的。

t = np.linspace(-5,5,100)

y = t*np.exp(t)-100

plt.plot(t,y)

ax = plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none') # 將右邊 上邊的兩條邊顏色設(shè)置為空 其實(shí)就相當(dāng)于抹掉這兩條邊

ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.yaxis.set_ticks_position('left') # 指定下邊的邊作為x軸 指定左邊的邊為y軸

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) #指定data設(shè)置的bottom(也就是指定的x軸)綁定到y(tǒng)軸的0這個(gè)點(diǎn)上

ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

def NewtonMethod(f,x0,err=1e-5,max_iter=1000):

'''A root-finding method:Newton method.

Args

----------

f: callable function

The nonlinear function to be solved.

x0: float

The initial x0

err: float

Tollerence of the result.

max_iter: int

Maximun iterations.

Outs

----------

result: float

The root between interval.

'''

x=sp.symbols("x")

f=sp.integrate(f, x) # 先求不定積分

f=sp.diff(f) # 再求導(dǎo)

if sp.diff(f).subs(x,x0)==0:

return x0

n=1

x_new=x0

while n<=max_iter:

x_new=x0-f.subs(x,x0)/sp.diff(f).subs(x,x0)

#x_new=float(x_new)

if math.fabs(x_new-x0)

return float(x_new)

x0=x_new

n+=1

print("無法在設(shè)定的循環(huán)步數(shù)內(nèi)獲得指定精度的近似解")

return float(x_new)

x=sp.symbols("x") # 定義符號

f=x*sp.exp(x)-100 # 需要注意，各種初等函數(shù)符號，例如exp，cos，sin等，均需要使用sympy指定的符號構(gòu)建

x0 = 3

xr = NewtonMethod(f,x0,err=1e-3,max_iter=1000)

print("求根結(jié)果：", float(xr))

求根結(jié)果： 3.385630140831713

編程作業(yè)

使用牛頓迭代法求解以下方程的根：

x3?ex=0x^3-e^x=0x3?ex=0

# 請?jiān)诖藚^(qū)域書寫求解代碼

【作者簡介】陳藝榮，男，目前在華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院廣東省人體數(shù)據(jù)科學(xué)工程技術(shù)研究中心攻讀博士，擔(dān)任IEEE Access、IEEE Photonics Journal的審稿人。兩次獲得美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(MCM)一等獎(jiǎng)，獲得2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(廣東賽區(qū))一等獎(jiǎng)、2018年廣東省大學(xué)生電子設(shè)計(jì)競賽一等獎(jiǎng)等科技競賽獎(jiǎng)項(xiàng)，主持一項(xiàng)2017-2019年國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目獲得優(yōu)秀結(jié)題，參與兩項(xiàng)廣東大學(xué)生科技創(chuàng)新培育專項(xiàng)資金、一項(xiàng)2018-2019年國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目獲得良好結(jié)題，發(fā)表SCI論文4篇，授權(quán)實(shí)用新型專利8項(xiàng)，受理發(fā)明專利13項(xiàng)。

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總結(jié)

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