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我們知道，公歷的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公歷也是閏年。

因此，對于從公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年中的閏年數(shù)，就等于

[(Y-1)/4]?-?[(Y-1)/100]?+?[(Y-1)/400]，

[...]表示只取整數(shù)部分。第一項(xiàng)表示需要加上被4整除的年份數(shù)，第二項(xiàng)表示需要去掉被100整除的年份數(shù)，第三項(xiàng)表示需要再加上被400整除的年份數(shù)。之所以Y要減一，這樣，我們就得到了第一個(gè)計(jì)算某一天是星期幾的公式：

W?=?(Y-1)*365?+?[(Y-1)/4]?-?[(Y-1)/100]?+?[(Y-1)/400]?+?D．?(1)

其中D是這個(gè)日子在這一年中的累積天數(shù)。算出來的W就是公元前1年(或公元0年)12月31日到這一天之間的間隔日數(shù)。把W用7除，余數(shù)是幾，這一天就是星期幾。比如我們來算2004年5月1日：

W?=?(2004-1)*365?+?[(2004-1)/4]?-?[(2004-1)/100]?+?[(2004-1)/400]?+31+29+31+30+1)

=?731702，

731702?/?7?=?104528……6，余數(shù)為六，說明這一天是星期六。這和事實(shí)是符合的。

上面的公式(1)雖然很準(zhǔn)確，但是計(jì)算出來的數(shù)字太大了，使用起來很不方便。仔細(xì)想想，其實(shí)這個(gè)間隔天數(shù)W的用處僅僅是為了得到它除以7之后的余數(shù)。這啟發(fā)我們是不是可以簡化這個(gè)W值，只要找一個(gè)和它余數(shù)相同的較小的數(shù)來代替，用數(shù)論上的術(shù)語來說，就是找一個(gè)和它同余的較小的正整數(shù)，照樣可以計(jì)算出準(zhǔn)確的星期數(shù)。

顯然，W這么大的原因是因?yàn)楣街械牡谝豁?xiàng)(Y-1)*365太大了。其實(shí)，

(Y-1)*365?=?(Y-1)?*?(364+1)

=?(Y-1)?*?(7*52+1)

=?52?*?(Y-1)?*?7?+?(Y-1)，

這個(gè)結(jié)果的第一項(xiàng)是一個(gè)7的倍數(shù)，除以7余數(shù)為0，因此(Y-1)*365除以7的余數(shù)其實(shí)就等于Y-1除以7的余數(shù)。這個(gè)關(guān)系可以表示為：

(Y-1)*365?≡?Y-1?(mod?7)．

其中，≡是數(shù)論中表示同余的符號，mod?7的意思是指在用7作模數(shù)(也就是除數(shù))的情況下≡號兩邊的數(shù)是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到了那個(gè)著名的、也是最常見到的計(jì)算星期幾的公式：

W?=?(Y-1)?+?[(Y-1)/4]?-?[(Y-1)/100]?+?[(Y-1)/400]?+?D．?(2)

這個(gè)公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因?yàn)槔鄯e天數(shù)D的計(jì)算也比較麻煩。是不是可以用月份數(shù)和日期直接計(jì)算呢？答案也是肯定的。我們不妨來觀察一下各個(gè)月的日數(shù)，列表如下：

月　　份：1月　2月　　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月

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天　　數(shù)：?31?28(29)?31?30?31?30?31?31?30?31?30?31

如果把這個(gè)天數(shù)都減去28(=4*7)，不影響W除以7的余數(shù)值。這樣我們就得到另一張表：

月　　份：1月　2月　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月

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剩余天數(shù)：?3?0(1)?3?2?3?2?3?3?2?3?2?3

平年累積：?3?3?6?8?11?13?16?19?21?24?26?29

閏年累積：?3?4?7?9?12?14?17?20?22?25?27?30

仔細(xì)觀察的話，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)除去1月和2月，3月到7月這五個(gè)月的剩余天數(shù)值是3,2,3,2,3；8月到12月這五個(gè)月的天數(shù)值也是3,2,3,2,3，正好是一個(gè)重復(fù)。相應(yīng)的累積天數(shù)中，后一月的累積天數(shù)和前一月的累積天數(shù)之差減去28就是這個(gè)重復(fù)。正是因?yàn)檫@種規(guī)律的存在，平年和閏年的累積天數(shù)可以用數(shù)學(xué)公式很方便地表達(dá)：

╭?d；　　　　　　　　　　　　　　　?　(當(dāng)M＝1)

D?=?{?31?+?d；　　　　　　　　　?　　?(當(dāng)M＝2)?　　　　　　　　　?(3)

╰?[?13?*?(M+1)?/?5?]?-?7?+?(M-1)?*?28?+?d?+?i．　?(當(dāng)M≥3)

其中[...]仍表示只取整數(shù)部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數(shù)；平年i=0，閏年=1。對于M≥3的表達(dá)式需要說明一下：[13*(M+1)/5]-7算出來的就是上面第二個(gè)表中的平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數(shù)。這是一個(gè)很巧妙的辦法，利用取整運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)3,2,3,2,3的循環(huán)。比如，對2004年5月1日，有：

總結(jié)

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