瑞利商加速定理14

第8章 矩陣特征值問題計(jì)算 8 . 2 冪法及反冪法 8.2.2 加速方法 原點(diǎn)平移法 由前面討論知道，應(yīng)用冪法計(jì)算 的主特征值的收斂 速度主要由比值 來決定，但當(dāng) 接近于1時(shí)，收斂 可能很慢. 一個(gè)補(bǔ)救的辦法是采用加速收斂的方法. 引進(jìn)矩陣 其中 為選擇參數(shù). 設(shè) 的特征值為 ，則 的相應(yīng)特征值為 ，而且 的 特征向量相同. 8.1 引 言 物理、力學(xué)和工程技術(shù)的很多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為 求矩陣的特征值問題.例如，振動(dòng)問題(大型橋梁或建筑 物的振動(dòng)、機(jī)械的振動(dòng)、電磁振蕩等)，物理學(xué)中某些臨 界值的確定，這些問題都?xì)w結(jié)為下述數(shù)學(xué)問題 定義1. (1)已知 ，則稱 為 的特征多項(xiàng)式. 的特征方程 (1.1) 一般有 個(gè)根(實(shí)的或復(fù)的，重根按重?cái)?shù)計(jì)算)(當(dāng) 時(shí)， 為實(shí)系數(shù) 次代數(shù)方程，其復(fù)根共軛成對(duì)出現(xiàn))， 稱為 的特征值. 用 表示 的所有特征值的集合. (1.2) 的非零解 稱為矩陣 的對(duì)應(yīng)于 的特征向量. (2) 設(shè) 為 特征值，相應(yīng)的齊次方程組 例1 求 的特征值及特征向量，其中 解 矩陣 的特征方程為 求得 特征值為： 對(duì)應(yīng)于各特征值的特征向量分別為： 定理1 設(shè) 為 的特征值且 ，其中 , 則 (1) 為 的特征值( 為常數(shù) ); (2) 為 的特征值，即 (3) 為 的特征值； (4) 設(shè) 為非奇異陣，那么 且 為 特征值， 即 定理2 設(shè) 為 階矩陣 特征 值，則 定理3 設(shè) ，則 定理4 設(shè) 為分塊上三角陣，即 其中每個(gè)對(duì)角塊 均為方陣，則 定理5 設(shè) 與 為相似矩陣(即存在非奇異陣 使 )，則 (1) 與 有相同的特征值； (2) 如果 是 特征向量，則 是 特征向量. 定理5說明，一個(gè)矩陣經(jīng)過相似變換后特征值不變. 定義2 設(shè) ，如果 有一個(gè)重?cái)?shù)為 的特征值 且對(duì)應(yīng)于 的矩陣 的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)少于 (一 般 )，稱 為虧損矩陣. 定理6 (1) 可對(duì)角化，即存在非奇異矩陣 使 的充要條件是 具有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量. (2) 如果 有 個(gè) 不同的特征值 則對(duì)應(yīng)的特征向量 線性無關(guān). 定理7(對(duì)稱矩陣的正交約化)設(shè) 為對(duì)稱矩陣， 則： (1) 的特征值均為實(shí)數(shù)； (2) 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量； (3) 存在一個(gè)正交矩陣 使得 且 為 特征值，而 的列 向量 為 的對(duì)應(yīng)于 的特征向量. 定義3 設(shè) . 令： (1) (2) 集合 . 稱復(fù)平面上 以 為圓心，以 為半徑的所有圓盤為 的Gerschgorin圓 盤. 定理8 (Gerschgorin圓盤定理)(1) 設(shè) ， 則 的每一個(gè)特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中 或者說， 的特征值都在復(fù)平面上 個(gè)圓盤的并集中. (2) 如果 有 個(gè)圓盤組成一個(gè)連通的并集 ，且 與余下 個(gè)圓盤是分離的，則 內(nèi)恰包含 的 個(gè) 特征值. 特別地，如果 的一個(gè)圓盤 是與其他圓盤分離的( 即孤立圓盤)，則 中精確地包含 的一個(gè)特征值. 證明 只就(1)給出證明. 設(shè) 為 的特征值，即 記 考慮 的第 個(gè)方程， 即 或 于是 即 這說明， 的每一個(gè)特征值必位于 的一個(gè)圓盤

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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