寫在篇前

??在概率論和統計學中，協方差用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。其定義的數學形式是：$Cov(X,Y)=E[(X?E(X))(Y?E(Y))]=E[XY]?E[X]E[Y]$

協方差數學形式

公式

$$cov(X,Y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i?\bar{X})(Y_i?\bar{Y})}{n?1}$$

結果形式

$$C=?\begin{array}{ccccc}cov(1,1)& cov(1,2)& cov(1,3)& ?& cov(1,n)\\ cov(2,1)& cov(2,2)& cov(2,3)& ?& cov(2,n)\\ cov(3,1)& cov(3,2)& cov(3,3)& ?& cov(3,n)\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ cov(n,1)& cov(n,2)& cov(n,3)& ?& cov(n,n)\end{array}?$$

協方差代碼形式

函數原型：def cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None,aweights=None)

• m:一維或則二維的數組，默認情況下每一行代表一個變量（屬性），每一列代表一個觀測
• y:與m具有一樣的形式的一組數據
• rowvar:默認為True,此時每一行代表一個變量（屬性），每一列代表一個觀測；為False時，則反之
• bias:默認為False,此時標準化時除以n-1；反之為n。其中n為觀測數
• ddof:類型是int，當其值非None時，bias參數作用將失效。當ddof=1時，將會返回無偏估計（除以n-1），即使指定了fweights和aweights參數；當ddof=0時，則返回簡單平均值。
• frequency weights:一維數組，代表每個觀測要重復的次數（相當于給觀測賦予權重）
• analytic weights:一維數組，代表觀測矢量權重。對于被認為“重要”的觀察,這些相對權重通常很大,而對于被認為不太重要的觀察,這些相對權重較小。如果ddof = 0,則可以使用權重數組將概率分配給觀測向量。

代碼示例

基本使用

import numpy as np# 計算協方差的時候，一行代表一個特征 # 下面計算cov(T, S, M) T = np.array([9, 15, 25, 14, 10, 18, 0, 16, 5, 19, 16, 20]) S = np.array([39, 56, 93, 61, 50, 75, 32, 85, 42, 70, 66, 80]) M = np.asarray([38, 56, 90, 63, 56, 77, 30, 80, 41, 79, 64, 88]) X = np.vstack((T, S, M)) # X每行代表一個屬性 # 每列代表一個示例，或者說觀測 print(np.cov(X))# [[ 47.71969697 122.9469697 129.59090909] # [122.9469697 370.08333333 374.59090909] # [129.59090909 374.59090909 399. ]]

??重點：協方差矩陣計算的是不同維度之間的協方差，而不是不同樣本之間。拿到一個樣本矩陣，首先要明確的就是行代表什么，列代表什么。

fweights

??frequency weights:一維數組，代表每個觀測要重復的次數（相當于給觀測賦予權重）

T = np.array([9, 15, 25, 14, 10, 18, 0, 16, 5, 19, 16, 20]) S = np.array([39, 56, 93, 61, 50, 75, 32, 85, 42, 70, 66, 80]) M = np.asarray([38, 56, 90, 63, 56, 77, 30, 80, 41, 79, 64, 88]) X = np.vstack((T, S, M)) print(np.cov(X, None, True, False, fweights=[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])) # 和上面例子結果一樣 # [[ 47.71969697 122.9469697 129.59090909] # [122.9469697 370.08333333 374.59090909] # [129.59090909 374.59090909 399. ]]T = np.array([9, 15, 25, 14, 10, 18, 0, 16, 5, 19, 16, 20]) S = np.array([39, 56, 93, 61, 50, 75, 32, 85, 42, 70, 66, 80]) M = np.asarray([38, 56, 90, 63, 56, 77, 30, 80, 41, 79, 64, 88]) X = np.vstack((T, S, M)) print(np.cov(X, None, True, False, fweights=[2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])) # 結果變了，就是因為相當于在X中增加了一列[9,39,38].T # [[ 45.6025641 121.55769231 128.43589744] # [121.55769231 381.42307692 389.30769231] # [128.43589744 389.30769231 415.76923077]]T = np.array([9, 9, 15, 25, 14, 10, 18, 0, 16, 5, 19, 16, 20]) S = np.array([39, 39, 56, 93, 61, 50, 75, 32, 85, 42, 70, 66, 80]) M = np.asarray([38, 38, 56, 90, 63, 56, 77, 30, 80, 41, 79, 64, 88]) X = np.vstack((T, S, M)) print(np.cov(X, None, True, False)) # 這樣就驗證了上面的話咯~ # [[ 45.6025641 121.55769231 128.43589744] # [121.55769231 381.42307692 389.30769231] # [128.43589744 389.30769231 415.76923077]]

aweights

??很遺憾，暫時不知道它的計算方式，等有時間我仔細看看源碼怎么算的，再修正！

注意事項

參數y

T = np.array([9, 15, 25, 14, 10, 18, 0, 16, 5, 19, 16, 20]) S = np.array([39, 56, 93, 61, 50, 75, 32, 85, 42, 70, 66, 80]) M = np.asarray([38, 56, 90, 63, 56, 77, 30, 80, 41, 79, 64, 88]) X = np.vstack((T, S, M))# 你會驚奇發現，這個結果和上面的結果一致，這就是參數 m, y，不知道為什么要設置這樣一個參數，hhh print(np.cov(X[0:1], X[1:]))# [[ 47.71969697 122.9469697 129.59090909] # [122.9469697 370.08333333 374.59090909] # [129.59090909 374.59090909 399. ]]

和方差的區別

>>> a = [1,2,3,4] # 當a是一維向量時 >>> import numpy as np >>> np.cov(a) # 計算樣本方差 array(1.66666667) >>> np.var(a) # 計算總體方差 1.25下面是 cov(a) 和 var(a)的區別 >>> 1.666666666666666667*3/4 1.25 >>>

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Numpy学习记录】np.cov详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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