參考博客地址：http://blog.csdn.NET/biangren/article/details/8038605

http://blog.csdn.net/njr465167967/article/details/51675424

動態規劃法

? ? ? ?分治法是指將問題劃分成一些獨立的子問題，遞歸地求解各子問題，然后合并子問題的解而得到原問題的解。然而經常會遇到復雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題，也就是各子問題包含公共的子子問題。若簡單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。動態規劃方法對每個子子問題只求解一次，將其結果保存在一張表中，從【問題】 求兩字符序列的最長公共字符子序列

問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。

考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質：

（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，意味著“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，意味著“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列。

? ? ? ?這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公共子序列。而避免每次遇到各個子問題時重新計算答案。

求解：

引進一個二維數組c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜索的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那么在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i] = Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。
問題的遞歸式寫成：
回溯輸出最長公共子序列過程： 算法分析：
? ? ? ?由于每次調用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調用(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞歸調用時方向相反，步數相同，故算法時間復雜度為Θ(m +n)。
Java實現代碼如下： package com.hbut.test; /** * Created by HP on 2017/6/6. */ public class LCS {public static void main(String[] args) {String str1 = "ABCBDAB"; String str2 = "BDCABA"; System.out.println(getMaxSubstringLen(str1, str2)); int[][] b = getTrace(str1, str2); String sMax = str1.length() > str2.length() ? str1 : str2; // 選擇最長的串，因為要取出最大子串 String sMin = str1.length() < str2.length() ? str1 : str2; // 選擇最小的串 print(b, sMax, sMax.length(), sMin.length()); }public static int getMaxSubstringLen(String x, String y) {int xLen = x.length() + 1; //加1是因為初始化第一個為0 int yLen = y.length() + 1; int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen; //大的串置為行 int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen; //小的串置為列 int[][] c = new int[rLen][cLen]; //矩陣c保存狀態 for (int i = 1; i < rLen; i++) {for (int j = 1; j < cLen; j++) {if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) { //相等，由斜對角線+1 c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) { //不相等，選取較大的 c[i][j] = c[i - 1][j]; } else {c[i][j] = c[i][j - 1]; }}}return c[xLen - 1][yLen - 1]; //最后那個就是最長的公共序列數量 }//記錄值的狀態，便于后面回溯 public static int[][] getTrace(String x, String y) {int xLen = x.length() + 1; int yLen = y.length() + 1; int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen; int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen; int[][] c = new int[rLen][cLen]; int[][] b = new int[rLen][cLen]; for (int i = 1; i < rLen; i++) {for (int j = 1; j < cLen; j++) {if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; b[i][j] = 2; } else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {c[i][j] = c[i - 1][j]; b[i][j] = -1; } else {c[i][j] = c[i][j - 1]; b[i][j] = 0; }}}return b; }// 遞歸實現回溯，然后打印出最長公共子序列（不連續子序列） public static void print(int[][] b, String s, int i, int j) {// 遞歸終止條件 if (i == 0 || j == 0) {return; }if (b[i][j] == 2) {print(b, s, i - 1, j - 1); System.out.print(s.charAt(i - 1) + " "); } else if (b[i][j] == -1) {print(b, s, i - 1, j); } else if (b[i][j] == 0) {print(b, s, i, j - 1); }}}
輸出結果： 4
B C B A?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划---实现输出最大公共子序列的长度以及输出最大子字符串（java语言描述）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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