? ? ? ? 一、單變量離散傅里葉變換

? ? ? ? ? ? ??離散傅里葉變換公式:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??根據公式，單變量離散傅里葉變是換將一維數組變換為傅里葉頻率。設定一個大小為N的數組，t為X軸上的變量，取值為[0，n-1],f(t)為t=x出的值，計算機處理時，t即為輸入數組下標index，f(t)為index對應位置數組中的值。

? ? ? ? ? ? ? 當μ=0時：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?相當于整個輸入數組直接求和。由于傅里葉變換計算涉及復數，可以將輸入數組變換為復數形式，f(t)作為復數實部，虛部為0。根據歐拉公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ??在進行實際使用時，可將傅里葉變換為如下形式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ??由于j為虛數，在實際計算過程中j=√-1是沒有代入的，只需要計算復數的實部和虛數實部即可。

? ? ? ? ? ??傅里葉變換核心代碼：

? ? ? ? ? ?

public Complex[] dft(Complex[] C) {int n = C.length;if (n == 1) {return C;}Complex[] result = new Complex[n];for (int i = 0; i < n; i++) {result[i] = new Complex(0, 0);for (int j = 0; j < n; j++) {double p = -2 * i * j * Math.PI / n;Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));}}return result;}

? ? ? ? ? ??代碼中，i相當于公式中的μ，j相當于t。

? ? ? ??二、中心化

? ? ? ? ? ? ??為了便于分析和操作需要將輸入數組進行中心化，中心化公式：f’(t) = f(t)*(-1)t,即根據數組下標奇偶數，將下標為奇數的數乘以-1，把整個數組分為以0為中心的數組序列。

? ? ? ? ? ? ?中心化代碼：

? ? ? ? ? ? ?

public Complex[] dftShift(Complex[] C) {int n = C.length;Complex[] result = new Complex[n];for(int i = 0; i < n; i++) {Complex m = new Complex(Math.pow(-1, i),0);result[i] = C[i].multiply(m);}return result;}

? ? ? ??三、傅里葉譜

? ? ? ? ? ? ? ?傅里葉譜，即傅里葉變換后的頻譜圖，頻譜計算也就是計算復數模長。

? ? ? ? ? ? ?? 復數模長計算公式：|C|=a2+b2

? ? ? ? 四、逆傅里葉變換

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逆傅里葉變換公式：

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? ? ? ? ? ??傅里葉變換本質上就是把數據從時域/空間域變換到頻率域，而逆傅里葉變換就是把數據再從頻率域變換回時域/空間域。

? ? ? ? ? ??逆傅里葉變換實現代碼：

? ? ? ? ? ??

public Complex[] iDFT(Complex[] C) {int n = C.length;if (n == 1) {return C;}Complex[] result = new Complex[n];for (int i = 0; i < n; i++) {result[i] = new Complex(0, 0);for (int j = 0; j < n; j++) {double p = 2 * i * j * Math.PI / n;Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));}result[i] = new Complex(result[i].getRealPart() / n, result[i].getImaginePart() / n);}return result;}

? ? ? 五、離散傅里葉變換實現代碼

public class DFT {/*** 計算離散傅里葉變換* * @param x* @return*/public Complex[] dft(Complex[] C) {int n = C.length;if (n == 1) {return C;}Complex[] result = new Complex[n];for (int i = 0; i < n; i++) {result[i] = new Complex(0, 0);for (int j = 0; j < n; j++) {double p = -2 * i * j * Math.PI / n;Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));}}return result;}/*** 逆離散傅里葉變換* * @param C* @return*/public Complex[] iDFT(Complex[] C) {int n = C.length;if (n == 1) {return C;}Complex[] result = new Complex[n];for (int i = 0; i < n; i++) {result[i] = new Complex(0, 0);for (int j = 0; j < n; j++) {double p = 2 * i * j * Math.PI / n;Complex m = new Complex(Math.cos(p), Math.sin(p));result[i] = result[i].add(C[j].multiply(m));}result[i] = new Complex(result[i].getRealPart() / n, result[i].getImaginePart() / n);}return result;}//中心化public Complex[] dftShift(Complex[] C) {int n = C.length;Complex[] result = new Complex[n];for(int i = 0; i < n; i++) {Complex m = new Complex(Math.pow(-1, i),0);result[i] = C[i].multiply(m);}return result;} }

? ? ? ? ? ? 測試代碼：

public static void main(String[] args) throws Exception{File in = new File("E:\\桌面\\1.jpg");File out = new File("E:\\桌面\\4.txt");BufferedImage image = ImageIO.read(in);int width = image.getWidth();int height = image.getHeight();int length = width * height;Complex[] C = new Complex[length]; //將二維圖片轉為一維數組for(int i = 0; i < width; i++) {for(int j = 0; j < height; j++) {int rgb = image.getRGB(i, j);int index = i * height + j;C[index] = new Complex(rgb & 0xff, 0);}}C = new DFT().dftShift(C);//中心化Complex[] result = new DFT().dft(C);Writer writer = new FileWriter(out);for(int i = 0; i < length; i++) {writer.write(Double.toString(result[i].absValue()));//計算頻譜writer.write("\r\n");}writer.close(); }

? ? ? ? ? ??測試圖像：

? ? ? ? ? ?頻譜圖：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单变量离散傅里叶变换DFT原理及实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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