卡特兰数~
摘dalao：Ypuyu、長滿石楠的荒原
卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學中一個常在各種計數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時的數(shù)學家歐仁·查理·卡塔蘭（1814–1894）命名。歷史上，清代數(shù)學家明安圖(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數(shù)”，遠遠早于卡塔蘭。有中國學者建議將此數(shù)命名為“明安圖數(shù)”或“明安圖-卡塔蘭數(shù)”。
即卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個數(shù)列！
公式（常見4個）：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2, h(0)=h(1)=1)
公式證明（摘自百度百科）
在2n位上填入n個0的方案數(shù)為
。而從
?中減去不符合要求的方案數(shù)即為所求答案。
在從左往右掃時，必然會在某一個奇數(shù)位2p+1上首先出現(xiàn)p+1個1，和p個0
此后的 [2p+2,2n]上的2n?(2p+1)位有n?p個0, n?p?1個1。如若把后面這部分2n?(2p+1)位的1與0互換，使之成為n?p個1，n?p?1個0，結(jié)果得1個由n+1個1和n?1個0組成的2n位數(shù)，即一個不合法的方案必定對應著一個由n+1個1和n-1個0組成的一個排列。
可以倒過來反證：
任意一個由n+1個1和n-1個0組成的一個排列，由于1的個數(shù)多了2個，且2n為偶數(shù)，所以必定在某個奇數(shù)位2p+1上出現(xiàn)1的個數(shù)超過0的個數(shù)。同樣把后面部分1和0互換，成為了由n個0和n個1組成的2n位數(shù)。
由此，每一個不合法的方案總是與唯一一個由n+1個1和n?1個0組成的排列一一對應。
于是，不合法的方案數(shù)就可以寫作：
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2進制數(shù)。但從左而右掃描在第5位（顯示為紅色）出現(xiàn)0的累計數(shù)3超過1的累計數(shù)2，它對應于由3個1，5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應于 10100101
因而不合要求的2n位數(shù)與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應，故有“卡塔蘭數(shù)”Catalan
敲一敲重點！！！
以下內(nèi)容摘自卡特蘭數(shù)
（1）卡特蘭數(shù)滿足以下性質(zhì)：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數(shù)滿足遞推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是說，如果能把公式化成上面這種形式的數(shù)，就是卡特蘭數(shù)。
當然，上面這樣的遞推公式太繁瑣了，于是數(shù)學家們又求出了可以快速計算的通項公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)。這個公式還可以更簡單得化為h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后一個公式都可以通過前一個公式經(jīng)過幾步簡單的演算得來，大家可以拿起筆試試，一兩分鐘就可以搞定。（2）卡特蘭數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在OI以及ACM中，在生活中也有廣泛的應用。下面舉幾個例子。
進出棧問題：棧是一種先進后出（FILO，First In Last Out）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．如下圖1，1,2,3,4順序進棧，那么一種可能的進出棧順序是：1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出棧序列為1,3,4,2。
那么一個足夠大的棧的進棧序列為1,2,3,?,n時有多少個不同的出棧序列？
我們可以這樣想，假設k是最后一個出棧的數(shù)。比k早進棧且早出棧的有k-1個數(shù)，一共有h(k-1)種方案。比k晚進棧且早出棧的有n-k個數(shù)，一共有h(n-k)種方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)種方案。顯而易見，k取不同值時，產(chǎn)生的出棧序列是相互獨立的，所以結(jié)果可以累加。k的取值范圍為1至n，所以結(jié)果就為h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)h(0)。
出棧入棧問題有許多的變種，比如n個人拿5元、n個人拿10元買物品，物品5元，老板沒零錢。問有幾種排隊方式。熟悉棧的同學很容易就能把這個問題轉(zhuǎn)換為棧。值得注意的是，由于每個拿5元的人排隊的次序不是固定的，所以最后求得的答案要n!。拿10元的人同理，所以還要n!。所以這種變種的最后答案為h(n)*n!*n!。
二叉樹構(gòu)成問題。有n個結(jié)點，問總共能構(gòu)成幾種不同的二叉樹。
我們可以假設，如果采用中序遍歷的話，根結(jié)點第k個被訪問到，則根結(jié)點的左子樹有k-1個點、根結(jié)點的右指數(shù)有n-k個點。k的取值范圍為1到n。講到這里就很明顯看得出是卡特蘭數(shù)了。這道題出現(xiàn)在2015年騰訊實習生的在線筆試題中。
凸多邊形的三角形劃分。一個凸的n邊形，用直線連接他的兩個頂點使之分成多個三角形，每條直線不能相交，問一共有多少種劃分方案。
這也是非常經(jīng)典的一道題。我們可以這樣來看，選擇一個基邊，顯然這是多邊形劃分完之后某個三角形的一條邊。圖中我們假設基邊是p1pn，我們就可以用p1、pn和另外一個點假設為pi做一個三角形，并將多邊形分成三部分，除了中間的三角形之外，一邊是i邊形，另一邊是n-i+1邊形。i的取值范圍是2到n-1。所以本題的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+…c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。則t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)…+t(i-1)*t(0)。很明顯，這就是一個卡特蘭數(shù)了。
有n+1個葉子的滿二叉樹的個數(shù)？事實上，向左記為+1，向右記為?1，按照向左優(yōu)先的原則，從根節(jié)點開始遍歷．例如第一個圖記為+1,+1,+1,?1,?1,?1,于是由卡特蘭數(shù)的含義可得滿二叉樹的個數(shù)為Cn。
在n*n的格子中，只在下三角行走，每次橫或豎走一格，有多少中走法？其實向右走相當于進棧，向左走相當于出棧，本質(zhì)就是n個數(shù)出棧次序的問題，所以答案就是卡特蘭數(shù)。（利用這個模型，我們解決這個卡特蘭問題的變形問題，并順便給進出棧問題的解法一個幾何解釋．）
將一個凸n+2邊形區(qū)域分成三角形區(qū)域的方法數(shù)？（答案卡特蘭數(shù)）
先介紹兩個關于卡特蘭數(shù)Cn的小引理，將問題一中的+1和?1分別看成左括號和右括號，我們得到
引理一 由nn對括號形成的合法括號表達式的個數(shù)為C．
比如n=3時，所有合法的括號表達式有 ?(())),(())(),()(()),()()(),(()()),共5個．
考慮n+1個數(shù)相乘，不同的相乘順序的數(shù)目．我們可以給出每一個合法的括號表達式和一種可能的相乘順序的對應方式．如n=3時，先取44個數(shù)a,b,c,d，然后在第一個數(shù)下設一個指針，將一個左括號看成是指針右移一格，而將右括號看成是將指針當前指向的數(shù)與其左側(cè)的一個數(shù)作乘積，并刪除左側(cè)的那個數(shù)，那么當執(zhí)行完括號表達式，就得到了一種可能的相乘順序，如圖．
這樣我們就從引理一出發(fā)得到了
引理二 n+1個數(shù)連乘，不同的乘法順序數(shù)為Cn．
注 這樣也是RPN模式的計算機的工作模式，可以無需括號完成計算，從而節(jié)省按鍵的次數(shù)．這種計算器在財務計算中大量使用，如圖．
接下來解決卡特蘭問題，用1,2,3,?,n+2標記凸n+2邊形的邊，從標記為1的邊的起點（按逆時針方向）開始按未標記的對角線均為向外標記方向，如圖．
(分別標記邊和對角線)
進而，逆時針讀圖，將出的箭頭讀為左括號，進的箭頭讀為右括號，就得到了剖分方式與連乘順序的對應．上圖中的兩個圖對應的連乘順序表達式分別為 ：1((2(34))5)6,(1(23))(45)6,
拋開6不計，每個連乘順序表達式實際上就是規(guī)定了n+1個數(shù)連乘時，不同的乘法順序，根據(jù)引理一，得到剖分方式的總數(shù)為Cn。
為了解決這個問題，我們重新解釋卡特蘭數(shù)的推導方式．先解決下面的輔助問題：(+1表示向左，-1表示向右)
圓周上有2n+1個點，其中n+1個點上標“+1”，n個點上標“?1”，如果可以找到某個標有“+1”的點作為起點，當順時針沿圓周前進時將所遇到的點（包括起點）上標的數(shù)相加得到的和始終為正數(shù)，就稱這種標記法是好標記法．求好標記法的總數(shù)（注意考慮圓排列）．
輔助問題的解 對于任何一種標記法，我們將順時針相鄰的“+1”“?1”（指順時針前進時先遇到“+1”后遇到“?1”）同時抹去，可以證明抹去的前后對標記法的好壞沒有影響．不停的重復這一過程，則最后只剩一個標有“+1”的點，顯然此時標記法為好的．因此所有的標記法都是好標記法，顯然其數(shù)目為 (1/2n+1)C(2n+1,n)-(1/n+1)C(2n,n)
問題的解 通過對輔助問題的進一步探索可知，每一種將圓周上2n+1個點標記為n+1個+1點，和n個?1點的方法唯一確定一個順時針前進的方案（即起點）．我們將這個起點刪去，剩下的2n個點在順時針方向上一定為“+1”“?1”“+1”“?1”，…，此時將順時針相鄰的這些“+1”“?1”點用弦連接起來，就得到互不相交的n條弦．這樣我們就建立了從好標記法到弦的連法的單射．
反過來，如果我們有了一種弦的連法，就可以從某條弦的端點出發(fā)順時針前進，對每條弦的兩個端點都是先遇到的端點標上“+1”，后遇到的端點標上“?1”，然后在最后回到出發(fā)點時添上一個標有“+1”的點．這樣我們就建立了從弦的連法到好標記法的單射．
綜上，所求的不同連法數(shù)為(1/n+1)C(2n,n)．
?
總結(jié)
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