簡介

威佐夫博弈($WythoffGame$)：有兩堆物品個數(shù)是$n$和$m$，甲乙兩個人輪流從一堆選取$k$個物品或兩堆中選取各選取$k$個物品，最后取完物品的人獲勝。

思路

兩堆物品數(shù)用$(n,m)$表示，滿足$n\le m$，如果$n>m$則交換$n$與$m$。

現(xiàn)考慮各種狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)先手必輸態(tài)如下：

當$n=0$時，

$(0,0)$沒有物品甲必敗,

$(0,m=0)$有物品甲必勝。

當$n=1$時，

$(1,2)$會變成乙選$(0,1)$,$(0,2)$或$(1,1)$，甲必敗,

$(1,m=2)$有物品甲必勝利。

當$n=2$時，

$(2,m)$變成乙選$(0,2)$或$(1,2)$，甲必勝。

當$n=3$時，

$(3,5)$甲必敗，

$(3,m=5)$甲必勝。

進一步推算可以發(fā)現(xiàn)所有的先手必敗局為$(0,0)$,$(1,2)$,$(3,5)$,$(4,7)$,$(6,10)\dots$

這種先手必敗局叫做奇異局勢，可以發(fā)現(xiàn)第$k$項的$n$是前$k?1$項中未出現(xiàn)的最小正整數(shù)$i$，而$m=i+k$。

每個人要想獲勝就是盡量使對方變成奇異局勢。

根據(jù)相關資料可以得知第$k$項奇異局勢的$n_k=\frac{k(\sqrt{(}5)+1)}{2},m_k=n_k+k$。

bool Wythoff(int n,int m){//判斷先手且為n,m時是否取勝 if(n>m) return Wythoff(m,n);//保證n<=m int k=m-n;//計算出項數(shù)k int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//計算出必敗時的n return n!=_n;//判斷是否必敗 }

例題

hdu1527

題目描述

有兩堆石子，數(shù)量任意，可以不同。游戲開始由兩個人輪流取石子。游戲規(guī)定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時取走相同數(shù)量的石子。最后把石子全部取完者為勝者。現(xiàn)在給出初始的兩堆石子的數(shù)目，如果輪到你先取，假設雙方都采取最好的策略，問最后你是勝者還是敗者。

輸入

輸入包含若干行，表示若干種石子的初始情況，其中每一行包含兩個非負整數(shù)a和b，表示兩堆石子的數(shù)目，a和b都不大于1,000,000,000。

輸出

輸出對應也有若干行，每行包含一個數(shù)字1或0，如果最后你是勝者，則為1，反之，則為0。

樣例輸入

2 1 8 4 4 7

樣例輸出

0 1 0

參考代碼

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; bool Wythoff(int n,int m){//判斷先手且為n,m時是否取勝 if(n>m) return Wythoff(m,n);//保證n<=m int k=m-n;//計算出項數(shù)k int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//計算出必敗時的n return n!=_n;//判斷是否必敗 } int main(){int n,m;while(cin>>n>>m){cout<<Wythoff(n,m)<<endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【博弈论】威佐夫博弈的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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