ALS算法讲解
Kendall秩相關(guān)系數(shù)（Kendall rank correlation coefficient）
對(duì)于秩變量對(duì)：
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注：Sir Maurice George Kendall，1907~1983，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家。這個(gè)人職業(yè)生涯的大部分時(shí)間都是一個(gè)公務(wù)員，二戰(zhàn)期間出任英國船運(yùn)協(xié)會(huì)副總經(jīng)理。1949年以后擔(dān)任倫敦大學(xué)教授。
參見：
https://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_rank_correlation_coefficient
Tanimoto系數(shù)
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該系數(shù)由Taffee T. Tanimoto于1960年提出。Tanimoto生平不詳，從名字來看，應(yīng)該是個(gè)日本人。在其他領(lǐng)域，它還有另一個(gè)名字Jaccard similarity coefficient。（兩者的系數(shù)公式一致，但距離公式略有差異。）
注：Paul Jaccard，1868～1944，蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH Zurich）博士，蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院植物學(xué)教授。ETH Zurich可是出了24個(gè)諾貝爾獎(jiǎng)得主的。
參見：
https://en.wikipedia.org/wiki/Jaccard_index
ALS算法原理
http://www.cnblogs.com/luchen927/archive/2012/02/01/2325360.html
上面的網(wǎng)頁概括了ALS算法出現(xiàn)之前的協(xié)同過濾算法的概況。
ALS算法是2008年以來，用的比較多的協(xié)同過濾算法。它已經(jīng)集成到Spark的Mllib庫中，使用起來比較方便。
從協(xié)同過濾的分類來說，ALS算法屬于User-Item CF，也叫做混合CF。它同時(shí)考慮了User和Item兩個(gè)方面。
用戶和商品的關(guān)系，可以抽象為如下的三元組：<User,Item,Rating>。其中，Rating是用戶對(duì)商品的評(píng)分，表征用戶對(duì)該商品的喜好程度。
假設(shè)我們有一批用戶數(shù)據(jù)，其中包含m個(gè)User和n個(gè)Item，則我們定義Rating矩陣，其中的元素表示第u個(gè)User對(duì)第i個(gè)Item的評(píng)分。
在實(shí)際使用中，由于n和m的數(shù)量都十分巨大，因此R矩陣的規(guī)模很容易就會(huì)突破1億項(xiàng)。這時(shí)候，傳統(tǒng)的矩陣分解方法對(duì)于這么大的數(shù)據(jù)量已經(jīng)是很難處理了。
另一方面，一個(gè)用戶也不可能給所有商品評(píng)分，因此，R矩陣注定是個(gè)稀疏矩陣。矩陣中所缺失的評(píng)分，又叫做missing item。
針對(duì)這樣的特點(diǎn)，我們可以假設(shè)用戶和商品之間存在若干關(guān)聯(lián)維度（比如用戶年齡、性別、受教育程度和商品的外觀、價(jià)格等），我們只需要將R矩陣投射到這些維度上即可。這個(gè)投射的數(shù)學(xué)表示是：
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這里的表明這個(gè)投射只是一個(gè)近似的空間變換。
不懂這個(gè)空間變換的同學(xué)，可參見《機(jī)器學(xué)習(xí)（十二）》中的“奇異值分解”的內(nèi)容，或是本節(jié)中的“主成分分析”的內(nèi)容。
一般情況下，k的值遠(yuǎn)小于n和m的值，從而達(dá)到了數(shù)據(jù)降維的目的。
幸運(yùn)的是，我們并不需要顯式的定義這些關(guān)聯(lián)維度，而只需要假定它們存在即可，因此這里的關(guān)聯(lián)維度又被稱為L(zhǎng)atent factor。k的典型取值一般是20～200。
這種方法被稱為概率矩陣分解算法(probabilistic matrix factorization，PMF)。ALS算法是PMF在數(shù)值計(jì)算方面的應(yīng)用。
為了使低秩矩陣X和Y盡可能地逼近R，需要最小化下面的平方誤差損失函數(shù)：
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考慮到矩陣的穩(wěn)定性問題，使用Tikhonov regularization，則上式變?yōu)?#xff1a;
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優(yōu)化上式，得到訓(xùn)練結(jié)果矩陣。預(yù)測(cè)時(shí)，將User和Item代入，即可得到相應(yīng)的評(píng)分預(yù)測(cè)值。
同時(shí)，矩陣X和Y，還可以用于比較不同的User（或Item）之間的相似度，如下圖所示：
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ALS算法的缺點(diǎn)在于：
1.它是一個(gè)離線算法。
2.無法準(zhǔn)確評(píng)估新加入的用戶或商品。這個(gè)問題也被稱為Cold Start問題。
ALS算法優(yōu)化過程的推導(dǎo)
公式2的直接優(yōu)化是很困難的，因?yàn)閄和Y的二元導(dǎo)數(shù)并不容易計(jì)算，這時(shí)可以使用類似坐標(biāo)下降法的算法，固定其他維度，而只優(yōu)化其中一個(gè)維度。
對(duì)求導(dǎo)，可得：
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令導(dǎo)數(shù)為0，可得：
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同理，對(duì)求導(dǎo)，由于X和Y是對(duì)稱的，因此可得類似的結(jié)論：
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因此整個(gè)優(yōu)化迭代的過程為：
1.隨機(jī)生成X、Y。（相當(dāng)于對(duì)迭代算法給出一個(gè)初始解。）?
Repeat until convergence {?
2.固定Y，使用公式3更新。?
3.固定X，使用公式4更新。?
}
一般使用RMSE（root-mean-square error）評(píng)估誤差是否收斂，具體到這里就是：
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其中，N為三元組<User,Item,Rating>的個(gè)數(shù)。當(dāng)RMSE值變化很小時(shí)，就可以認(rèn)為結(jié)果已經(jīng)收斂。
算法復(fù)雜度：
1.求：
2.求：
可以看出當(dāng)k一定的時(shí)候，這個(gè)算法的復(fù)雜度是線性的。
因?yàn)檫@個(gè)迭代過程，交替優(yōu)化X和Y，因此又被稱作交替最小二乘算法（Alternating Least Squares，ALS）。
隱式反饋
用戶給商品評(píng)分是個(gè)非常簡(jiǎn)單粗暴的用戶行為。在實(shí)際的電商網(wǎng)站中，還有大量的用戶行為，同樣能夠間接反映用戶的喜好，比如用戶的購買記錄、搜索關(guān)鍵字，甚至是鼠標(biāo)的移動(dòng)。我們將這些間接用戶行為稱之為隱式反饋（implicit feedback），以區(qū)別于評(píng)分這樣的顯式反饋（explicit feedback）。
隱式反饋有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
1.沒有負(fù)面反饋（negative feedback）。用戶一般會(huì)直接忽略不喜歡的商品，而不是給予負(fù)面評(píng)價(jià)。
2.隱式反饋包含大量噪聲。比如，電視機(jī)在某一時(shí)間播放某一節(jié)目，然而用戶已經(jīng)睡著了，或者忘了換臺(tái)。
3.顯式反饋表現(xiàn)的是用戶的喜好（preference），而隱式反饋表現(xiàn)的是用戶的信任（confidence）。比如用戶最喜歡的一般是電影，但觀看時(shí)間最長(zhǎng)的卻是連續(xù)劇。大米購買的比較頻繁，量也大，但未必是用戶最想吃的食物。
4.隱式反饋非常難以量化。
ALS-WR
針對(duì)隱式反饋，有ALS-WR算法（ALS with Weighted--Regularization）。
首先將用戶反饋分類：
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但是喜好是有程度差異的，因此需要定義程度系數(shù)：
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這里的表示原始量化值，比如觀看電影的時(shí)間；
這個(gè)公式里的1表示最低信任度，表示根據(jù)用戶行為所增加的信任度。
最終，損失函數(shù)變?yōu)?#xff1a;
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除此之外，我們還可以使用指數(shù)函數(shù)來定義：
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ALS-WR沒有考慮到時(shí)序行為的影響，時(shí)序行為相關(guān)的內(nèi)容，可參見：
http://www.jos.org.cn/1000-9825/4478.htm
參考
參考論文：
《Large-scale Parallel Collaborative Filtering forthe Netflix Prize》
《Collaborative Filtering for Implicit Feedback Datasets》
《Matrix Factorization Techniques for Recommender Systems》
其他參考：
http://www.jos.org.cn/html/2014/9/4648.htm
http://www.fuqingchuan.com/2015/03/812.html
http://www.docin.com/p-714582034.html
http://www.tuicool.com/articles/fANvieZ
http://www.68idc.cn/help/buildlang/ask/20150727462819.html
總結(jié)
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