1 (15 分) 設(shè) $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $l$ 為 $\mathcal{H}$ 上的一實(shí)值線性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一閉凸子集, \[ f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C). \] 求證:

(1) 對任意 $\mathcal{H}$ 上線性有界泛函 $g$, $\exists\ u_0\in \mathcal{H}$, 使得 $f(u_0)=g(u_0)$;

(2)$\exists\ u_1\in C$, 使得 \[ f(u_2)=\inf_{v\in C}f(v); \]

(3)討論 $g,\ u_0,\ u_1$ 之間的關(guān)系.

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2(15 分) 設(shè) $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是線性算子且滿足 \[ (Tx,y)=(x,Ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal{H}). \] 求證:

(1)$T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$;

(2)$T^*=T$, 此時(shí)稱 $T$ 為自共軛算子;

(3)若 $\overline{R(A)}=\mathcal{H}$, 則對 $\forall\ y\in R(A)$, 方程 \[ Ax=y \] 存在唯一解.

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3(15 分) 證明:

(1)若 $p\leq q$, 則 $l^p\subset l^q$;

(2)$l^\infty$ 不可分;

(3)$l^1$ 不自反.

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4(10 分) 設(shè) $\varphi\in C[0,1]$, $T:\ L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 是由 \[ (Tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in L^2[0,1]) \] 給出的線性算子. 求證:

(1)$T$ 是自共軛算子 (定義見題2);

(2)$\exists\ \lambda\geq 0$, 使得 $T^2=\lambda T$, 由此求出 $T$ 的譜半徑 $r_\sigma(T)$.

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5(10 分) 設(shè) $\mathcal{X}$ 是自反的 Banach 空間, $A\subset \mathcal{X}$. 證明:

(1)$A$ 弱列緊的充分必要條件是 $A$ 有界;

(2) 若 $A$ 弱列緊的, 則 $A$ 的凸包 \[ co (A) =\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda_ix_i;\ \sum_{i=1}^n \lambda_i=1,\ \lambda_i\geq 0,\ x_i\in A,\ i=1,2,\cdots, n,\ n\in \mathbb{N} \right\} \] 也是弱列緊的.

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6(10 分) 證明:

(1)在 Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 中, $x_n\to x_0$ 的充分必要條件是 \[ ||x_n||\to ||x_0||,\quad x_n\rightharpoonup x_0; \]

(2)在 $L^2[0,1]$ 中, $f_n\to f$ 的充分必要條件是 \[ f_n\rightharpoonup f,\quad f_n^2\stackrel{*}{\rightharpoonup} f^2. \]

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7(8 分) 設(shè) $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空間, $\mathcal{H}_0$ 是 $\mathcal{H}$ 的閉線性子空間, $f_0$ 是 $\mathcal{H}_0$ 上的線性有界泛函. 證明: $\exists\ \mathcal{H}$ 上的線性有界泛函 $f$, 使得 \[ f(x)=f_0(x)\quad(\forall\ x\in \mathcal{H}_0), \] \[ ||f||=||f_0||. \]

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8(8 分) 設(shè) $\mathcal{X},\ \mathcal{Y}$ 是 Banach 空間, $T$ 是 $\mathcal{X}$ 到 $\mathcal{Y}$ 的線性算子, 又設(shè)對 $\forall\ g\in \mathcal{Y}^*$, $g(Tx)$ 是 $\mathcal{X}$ 上的線性有界泛函, 求證: $T$ 是連續(xù)的.

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9(9 分) 設(shè) $C[a,b]$ 是連續(xù)函數(shù)空間, 賦以最大值范數(shù) \[ ||x||_\infty =\sup_{t\in [a,b]} |x(t)|\quad (\forall\ x\in C[a,b]). \] 設(shè) $\{x_n\}\subset C[a,b]$ $x\in C[a,b]$. 求證: $x_n\rightharpoonup x$ 的充分必要條件是 \[ \lim_{n\to\infty}x_n(t)=x(t),\quad \forall\ t\in [a,b]\cap \mathbb{Q}, \] 且 \[ \sup_{n\geq 1}||x_n||_\infty<\infty. \]

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應(yīng)老師要求, 出了一份泛函分析期末試卷, 主要針對張恭慶泛函分析第二章. 自己寫完后也感覺太難了. 不過還是保留了做個(gè)紀(jì)念. 下次修改后再發(fā)終結(jié)版.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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