匈牙利算法與套題

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匈牙利算法是利用增廣路來找二分圖里的最大匹配問題。

二分圖的概念：

設G=(V, E)是一個無向圖。如果頂點集V可分割為兩個互不相交的子集U和V，并且圖中每條邊連接的兩個頂點一個在U中，另一個在V中，則稱圖G為二分圖。

如何判斷給你的圖為一個二分圖：染色法(BFS判斷)

• 染色法就是將二分圖中的兩個不相關的子區間染成不同顏色(如上圖中U被染成藍色，V被染成綠色)，這樣在這個圖里面的每條邊的端點都是不同的顏色。 — wiki。
• 所以在一個圖中，我們隨便從一個點從0開始進行BFS(廣度優先搜索)，每次搜索到的點先進行判斷是否被搜過，如果沒有被搜過，那么這個搜到的點 = 目前的點+1.如果被搜過，就要判斷兩個值是否同奇或者同偶，如果不滿足同奇或者同偶，就說明不滿足染色法，就不是一個二分圖。

下面是一個圖，用染色法標記發現它是一個二分圖

上面的圖轉換成二分圖為：

二分圖中幾個小知識：

匹配：根據染色法邊集E的任意兩條邊不依附同一個頂點

最大匹配：最大匹配數也是最小覆蓋數，要到把當前二分圖中的匹配數找到不能找為止

完全匹配：匹配完圖G中所有點。

取反：在一條增廣路中，把未匹配的變成匹配并把匹配的變成未匹配。

• 注：完全匹配一定是最大匹配，最大匹配不一定是完全匹配。

增廣路的概念：

在網上搜了一下增廣路發現有點看不懂：

• 若P是圖G中一條連通兩個未匹配頂點的路徑，并且屬于M的邊和不屬于M的邊(即已匹配和待匹配的邊)在P上交替出現，則稱P為相對于M的一條增廣路徑（舉例來說，有A、B集合，增廣路由A中一個點通向B中一個點，再由B中這個點通向A中一個點……交替進行）。 —百度百科

然后在網上瘋狂找資料找到了一個易懂的：通過交替路找增廣路

• 交替路：再G中的邊，匹配的邊和未被匹配的邊交替出現
• 增廣路：從未匹配的邊開始，走交替路，并以未匹配的邊結束。

匈牙利算法：

置M為空。

用DFS(深度優先搜索)尋找增廣路，取反獲得最大匹配M’代替M。

重復2，直到找不到增廣路為止。
注： M為二分圖以匹配邊的集合。

當時我在這里不理解，為什么找到了增廣路取反得到的新M集合(M’)就要比舊M集合更優？

其實這里你畫一下圖就很好理解了，這里我先用文字描述一下：因為增廣路是從未匹配開始到未匹配結束，所以你對增廣路取反必定會在原來匹配邊的基礎上增加一條匹配邊。

如下圖：上圖為舊M集合，下圖為取反后的新M集合。可看出取反后的M集合里的匹配條數多了一條。

匈牙利算法題集：

匈牙利板子題：POJ3041

題意：輸入兩個數n，m。n為點集，m為邊集。然后m組數據是從X點集到Y點集的邊。要你求最小覆蓋數，也就是最大匹配數。
點擊查看代碼(DFS+鄰接矩陣)
點擊查看代碼(BFS+鄰接矩陣)

hdu2063

點擊查看代碼(BFS+鄰接矩陣)

二分圖判定:hihocoder1121

BFS+鄰接表

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參考資料：

趣寫算法系列之–匈牙利算法
匈牙利算法
二分圖匹配——匈牙利算法和KM算法
二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的匈牙利算法与套题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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