\(Matrix-tree\) 定理用來解決一類生成樹計數(shù)問題，以下前置知識內(nèi)容均是先基于無向無權(quán)圖來介紹的。有關(guān)代數(shù)余子式的部分不是很明白，如果有錯誤還請指出……
部分內(nèi)容參考至：\(Blog\_1\) & \(Blog\_2\)。
　

\(Laplacian\) 矩陣

定義：
在 \(n\) 個點的無向圖中：
度數(shù)矩陣 \(D\) 即為一個 \(n*n\) 的矩陣，定義為 \(D[i][i]=i\) 號點的度數(shù)，\(D[i][j]=0\) \((i \ne j)\)。
鄰接矩陣 \(A\) 即為一個 \(n*n\) 的矩陣，定義為 \(A[i][j]=i, j\) 之間的邊數(shù)。
則其拉普拉斯矩陣其實就是圖的度數(shù)矩陣減去鄰接矩陣，即 \(L=D-A\)。
對此，可以直接的總結(jié)出 \(laplacian\) 矩陣中各元素的值為：
\[ L_{i,j}= \left \{ \begin{aligned} degree(i)　　　　　 & & i = j \\ -\ Edge\_number(i, j) & & i \ne j\\ \end{aligned} \right.\]
　

矩陣行列式性質(zhì)及求法

行列式：
在一個 \(n*n\) 的矩陣中，選出 \(n\) 個互相不同行不同列的數(shù)，其乘積的值冠以符號 \((-1)^t\)，得到式子：\((-1)^t\ ·\ a_{1,p_1}\ ·\ a_{2,p_2}\ ·\ a_{3,p_3}\ ·\ ...\ ·\ a_{n,p_n}\)；
其中，\(p\) 為自然數(shù) \(1~n\) 的一個排列，\(t\) 為這個排列的逆序?qū)?shù)，可知形同上式的項共有 \(n!\) 個。所有這些項的代數(shù)和稱為矩陣的 \(n\) 階行列式，簡記為 \(det(i,j)\)，其中數(shù) \(i,j\) 為行列式 \(D\) 的 \((i,\ j)\) 元。
也可以理解為矩陣 \(A\) 任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。

行列式的性質(zhì)：
· 互換矩陣的兩行(列)，行列式變號
· 矩陣有兩行(列)成比例(比例系數(shù) \(k\))，則行列式的值為 \(0\)
· 矩陣的某一行(列)中的所有元素都乘以同一個數(shù) \(k\)，新行列式的值等于原行列式的值乘上數(shù) \(k\)
· 把矩陣的某一行(列)加上另一行(列)的 \(k\) 倍，則行列式的值不變

行列式的求法：
按照定義來求行列式的復(fù)雜度實在是太高了，考慮一些更快的方法。
給出一個上三角/下三角矩陣，其行列式的值為對角線的乘積，因為只有 \(p={1,2,3...n}\) 時，乘積項中才沒有 \(0\) 出現(xiàn)。
采用高斯消元的方法，把矩陣消為一個上三角矩陣后，然后求出對角線的積，便是該矩陣的行列式的值。
　

高斯消元

高斯消元：
上面提到了高斯消元，我之前也學(xué)習(xí)過，不過忘記的差不多了……（之前的博客）
這里簡單放一下，順便做個復(fù)習(xí)補充。

模意義下的高斯消元：
如果要求的矩陣不允許出現(xiàn)實數(shù)，且需要取模，則采用輾轉(zhuǎn)相除的高斯消元法，至于這個輾轉(zhuǎn)相除，復(fù)雜度高不了多少。
眾所周知 高斯消元需要做除法，而模意義下是沒有除法拿來做的。計算高斯消元的時候，如果模數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么除法逆元可以直接用費馬小定理解決。否則我們對于矩陣中的兩行，不斷地把主元較大的那一行減去主元較小的那一行，最終一定有一行主元為 \(0\)，也就完成了消元。
發(fā)現(xiàn)以上思想是更相減損術(shù)的思想，效率太低，就可以拿輾轉(zhuǎn)相除代替。
需要注意的是，我們在做的時候會交換行，而由行列式的性質(zhì)，我們需要統(tǒng)計一下交換的次數(shù)：如果次數(shù)為奇數(shù)，那么最后的答案還要乘上模意義下的 \(-1\)。
　

inline void Gaussian() {for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = i + 1; j <= n; ++j) while( kir[j][i] ) {int tmp = kir[i][i] / kir[j][i];for(int k = i; k <= n; ++k) {kir[i][k] = (kir[i][k] - tmp * kir[j][k] % mod + mod) % mod;swap(kir[i][k], kir[j][k]);}ans = (mod - ans) % mod;} }

　

\(Matrix-tree\) 定理

定理內(nèi)容：
應(yīng)用中，無向圖的生成樹個數(shù)就等于這副圖的 \(laplacian\) 矩陣的任意一個代數(shù)余子式值，也可以理解為 \(laplacian\) 矩陣一個余子式的行列式的值。

余子式和代數(shù)余子式：
\(M_{i,j}\) 表示矩陣的一個余子式，指去掉元素 \(a_{i,j}\) 所在的行和列后剩余的矩陣部分。
\(C_{i,j}\) 表示矩陣的一個代數(shù)余子式，定義為 \(C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)。

定理總結(jié)：
· 存在性質(zhì)：\(laplacian\) 矩陣的任意一個代數(shù)余子式值都相同。
· 求得 \(laplacian\) 矩陣后，取一個余子式用高斯消元得到新矩陣的上三角矩陣，對角線乘積的絕對值就是生成樹個數(shù)。

定理推廣：
對于消去自環(huán)影響的有向圖，也可以求以 \(i\) 為根的外向樹/內(nèi)向樹個數(shù)，此時的 \(laplacian\) 矩陣定義為：
\[ L_{i,j}= \left \{ \begin{aligned} in\_degree(i)\ or\ out\_degree(i)　 & & i = j \\ -\ Edge\_number(i\ to\ j)　　　　 & & i \ne j\\ \end{aligned} \right. \]
　

例題及拓展性質(zhì)

\([SDOI2014]\) 重建：
給一個圖，每條邊有出現(xiàn)概率，求這個圖恰好為一棵樹的概率。
考慮 \(laplacian\) 矩陣的意義：之所以能夠進行生成樹計數(shù)是對于其關(guān)聯(lián)矩陣在計數(shù) \(n?1\) 條邊的集合時，當(dāng) \(n?1\) 條邊中存在環(huán)就會產(chǎn)生線性組合而導(dǎo)致行列式為零，否則恰好對角線上均為關(guān)聯(lián)矩陣中所賦的值，使得 \(det(B_{i,j})^2\) 就為 \(1\)（有關(guān)這一部分的理解請看文章首部給出的 \(Blog\_2\) 鏈接）。
因此可以令鄰接矩陣中存下邊權(quán)，以計數(shù)生成樹中邊權(quán)的乘積。
這道題告訴我們：鄰接矩陣中的的權(quán)可以不是 \(1\)，而是其他權(quán)值，比如概率。
了解了這個之后，就直接放一篇別人的題解 \(Blog\_3\) 在這里好了。
　

#include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cctype> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std;#define scnaf scanfconst double eps = 1e-8; const int maxn = 50 + 5; int n; double p[maxn][maxn], tmp, ans;inline double Abs(double x) { return x < 0 ? -x : x; }inline void Gaussian() {for(int maxx = 1, i = 1; i < n; maxx = ++i) {for(int j = i + 1; j < n; ++j) if( Abs(p[j][i]) > Abs(p[maxx][i]) ) maxx = j;if( maxx != i ) for(int j = 1; j < n; ++j) swap(p[i][j], p[maxx][j]);for(int k = i + 1; k < n; ++k) {double mul = p[k][i] / p[i][i];for(int j = i; j < n; ++j) p[k][j] = p[k][j] - p[i][j] * mul;}if( Abs(p[i][i]) < eps ) { ans = 0.0; return ; }}for(int i = 1; i < n; ++i) ans = ans * p[i][i]; }int main(int argc, char const *argv[]) {freopen("nanjolno.in", "r", stdin);freopen("nanjolno.out", "w", stdout);scnaf("%d", &n), tmp = 1.0, ans = 1.0;for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) {scnaf("%lf", &p[i][j]);if( i < j ) tmp = tmp * (1.0 - p[i][j]);p[i][j] = p[i][j] < eps ? eps : min(p[i][j], 1.0 - eps);p[i][j] = p[i][j] / (1.0 - p[i][j]);}for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j) if( i != j ) p[i][i] = p[i][i] - p[i][j];Gaussian(), printf("%.6lf\n", Abs(ans * tmp));fclose(stdin), fclose(stdout);return 0; }

　

其他題目：
\([SHOI2016]\) 黑暗前的幻想鄉(xiāng)
\([HEOI2015]\) 小Z的房間
\([FJOI2007]\) 輪狀病毒
\([JSOI2008]\) 最小生成樹計數(shù)

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　林下帶殘夢，葉飛時忽驚。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/nanjoqin/p/10368681.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Matrix-tree 定理的一些整理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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