P4688 [Ynoi2016] 掉進(jìn)兔子洞

序列，靜態(tài)，求三個(gè)區(qū)間的可重集的交的大小，離線，\(n,Q\le 10^5\)，3s，500MB

缺乏性質(zhì) \(\rightarrow\) bitset

靜態(tài)區(qū)間 \(\rightarrow\) 莫隊(duì)化為單點(diǎn)改

bitset 支持取交，\(x\) 重復(fù) \(cnt_x\) 次即可，空間 \(O(n^2/w)\)，時(shí)間 \(O(n\sqrt n+{n^2\over w})\)，分三次處理減小空間常數(shù)

P4690 [Ynoi2016] 鏡中的昆蟲

序列，區(qū)間賦值，區(qū)間數(shù)顏色，離線，\(n,Q\le 10^5\)，1s，64MB

數(shù)顏色 \(\rightarrow\) 維護(hù) pre

珂朵莉樹 \(\rightarrow\) pre 只改變 \(O(Q)\) 次

轉(zhuǎn)化：?jiǎn)吸c(diǎn)改 pre，查詢 \([l,r]\) 內(nèi) pre 小于 \(l\) 的數(shù)量

1. 樹套樹，在線，空間 \(O(n\log n)\)，時(shí)間 \(O(n\log^2 n)\)，過不去
2. CDQ，離線，空間 \(O(n)\)，時(shí)間 \(O(n\log^2 n)\)，正解

P5064 [Ynoi2014] 等這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束之后

圖，動(dòng)態(tài)加邊，回退到某歷史版本，查詢某個(gè)連通塊中權(quán)值第 \(k\) 小，離線。\(n,Q\le 10^5\)，500ms，20MB

回退歷史版本 & 可離線 \(\rightarrow\) dfs 操作樹轉(zhuǎn)為撤銷

第 \(k\) 小 & 可合并 \(\rightarrow\) 值域分塊 或 bitset

1. 值域分塊

   值域每 \(B\) 個(gè)分成一塊，按塊離線，記錄每個(gè)連通塊點(diǎn)數(shù)。

   • 合并、撤銷連通塊：暴力 \(O({n^2\over B}\log n)\)，注意到并查集操作對(duì)每個(gè)值域塊相同，預(yù)處理可 \(O(n^2/B)\)。
   • 查詢連通塊第 \(k\) 小：
     • 枚舉值域內(nèi)每個(gè)數(shù)判斷，\(O(nB\log n)\)。
     • 每個(gè)并查集開桶，\(O(nB)\)，空間 \(O(nB)\)，\(B\) 需要開很小。
     • 使用鏈表維護(hù)，可以是有序鏈表歸并（難寫）或每次把鏈表所有數(shù)拿出來 nth_element，\(O(nB)\)。

   總時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\sqrt{n\log n})\) 或 \(O(n\sqrt{n})\)，空間線性。

2. bitset 壓位

   查詢 bitset 可直接 \(O(n/w)\)。

   不能開 \(n\) 個(gè) bitset \(\rightarrow\) 對(duì)于點(diǎn)數(shù)小于 \(n/w\) 的連通塊用鏈表維護(hù)，同時(shí)至多存在 \(w\) 個(gè) bitset，空間線性。

   鏈表查詢，合并同上。鏈表并入 bitset 可啟發(fā)式暴力。

   總時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n^2/w)\)，空間線性。

P5354 [Ynoi2017] 由乃的 OJ

樹，每個(gè)點(diǎn)的效果為 \(\operatorname{and}/\operatorname{or}/\operatorname{xor}\) 一個(gè)數(shù)，單點(diǎn)改，詢問 \([0,z]\) 中所有數(shù)經(jīng)過路徑操作得到的最大值，無需離線。\(n,Q\le 10^5\)，值域 \(2^{64}\)，250ms，128MB。

二進(jìn)制操作 \(\rightarrow\) 拆位

二進(jìn)制復(fù)合 \(\rightarrow\) 壓位處理復(fù)合矩陣，同時(shí)處理 \(k\) 位的復(fù)合，\(O(k)\rightarrow O(1)\)

總時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\log^2n+nk)\)

P6109 [Ynoi2009] rprmq1

二維平面，先修改后查詢，矩形加，矩形求 \(\max\)。\(n\le 5\times 10^4,Q\le 5\times 10^5\)，4s，512MB。

矩陣 \(\rightarrow\) 將一維時(shí)間化，離線問題轉(zhuǎn)為在線問題

修改，詢問在一段時(shí)間區(qū)間生效 \(\rightarrow\) 貓樹轉(zhuǎn)為對(duì)一段后綴有效（即修改后無需撤銷，詢問等價(jià)于查歷史信息和）

區(qū)間加歷史最值即可，時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\log^2n+Q\log n)\)

P6780 [Ynoi2009] pmrllcsrms

序列，單點(diǎn)改，求區(qū)間長(zhǎng)度不超過 \(c\) 的最大字段和，其中 \(c\) 為全局定值，無需離線。\(n,Q\le 10^6\)，6s，512MB。

長(zhǎng)度不超過 \(c\) \(\rightarrow\) 每 \(c\) 個(gè)位置分一塊，詢問分為每塊內(nèi)全部或兩相鄰塊之間

相鄰塊后前綴長(zhǎng)度和不超過 \(c\) \(\rightarrow\) 直角三角形模式，分成一個(gè)矩形和兩個(gè)小直角三角形

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\log n)\)

P6783 [Ynoi2008] rrusq

二維平面，\(n\) 個(gè)帶權(quán)點(diǎn)，\(m\) 個(gè)矩形，\(Q\) 次詢問區(qū)間 \([l,r]\) 內(nèi)的矩形并中點(diǎn)權(quán)之和，離線。\(n,m\le 10^5,Q\le 10^6\)，4s，128MB。

靜態(tài)區(qū)間，難以增量 \(\rightarrow\) 掃右維護(hù)左

點(diǎn)出現(xiàn)在區(qū)間并中 \(\rightarrow\) 掃右端點(diǎn)，維護(hù)每個(gè)點(diǎn)最后出現(xiàn)時(shí)間

KD-Tree，每次暴力收回子樹內(nèi)的出現(xiàn)時(shí)間 tag 即可

詢問使用 \(O(1)-O(\sqrt n)\) 的數(shù)組維護(hù)

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\sqrt Q+Q\sqrt n)\)

P7446 [Ynoi2007] rfplca

序列，區(qū)間減，詢問 \(fa\) 數(shù)組形成的樹上某兩個(gè)點(diǎn)的 LCA，無需離線。\(n,Q\le 4\times 10^5\)，保證 \(fa_i<i\)，2.5s，64MB。

形式奇怪 \(\rightarrow\) 考慮分塊

詢問 LCA \(\rightarrow\) 不斷跳 \(fa\)

不斷進(jìn)行重復(fù)操作 \(\rightarrow\) 記錄每個(gè)點(diǎn)跳出塊后的第一個(gè)位置

散塊直接重構(gòu)，整塊 \(\sqrt n\) 次后全部出塊，直接打 tag，詢問 trivial，時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\sqrt n)\)

P7447 [Ynoi2007] rgxsxrs

序列，區(qū)間大于 \(x\) 的數(shù)減 \(x\)，區(qū)間和與最小最大值，無需離線。\(n,Q\le 5\times 10^5,a_i\le 10^9\)，6s，64MB。

和值域有關(guān) \(\rightarrow\) 值域倍增分塊（？）

1. 塊大于 \(x\)，打標(biāo)記或降塊，降塊至多 \(\log V\) 次，產(chǎn)生 \(\log n\) 的復(fù)雜度后必然降塊
2. 塊等于 \(x\)，暴力找到所有需要減小的 \(a_i\)，單個(gè) \(a_i\) 同塊內(nèi)至多減小 \(b\) 次（\(b\) 為倍增底數(shù)）

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(nb\log_bV\log n)\)?？臻g底層分塊后線性。

P7722 [Ynoi2007] tmpq

三個(gè)序列 \(a,b,c\)，單點(diǎn)改 \(a\)，詢問有幾個(gè) \(i<j<k\le r\) 滿足 \(b_{a_i}=a_j=c_{a_k}\)，離線。\(n\le 2\times 10^5,Q\le 5\times 10^4\)，4s，64MB。

陰間條件 \(\rightarrow\) 單點(diǎn)改 \(a,b,c\)，詢問 \(b_i=a_j=c_k\)

顏色相關(guān) \(\rightarrow\) 次數(shù)大小分治，小者暴力，大者維護(hù)

小顏色暴力重新 dp，\(O(Q\sqrt n)\) 次區(qū)間加，\(O(Q)\) 次單點(diǎn)查

大顏色維護(hù)動(dòng)態(tài) dp，分塊維護(hù)塊內(nèi)前綴 dp 結(jié)果及前綴塊 dp 結(jié)果，單點(diǎn)改 \(O(\sqrt n)\)，查詢 前綴塊+塊內(nèi)前綴=\(O(1)\)

總時(shí)間復(fù)雜度 \(O(Q\sqrt n)\)，空間離線做到線性

P7880 [Ynoi2006] rldcot

樹，邊帶權(quán)（可以為負(fù)），靜態(tài)，\(Q\) 次詢問 \([l,r]\) 內(nèi)的點(diǎn)對(duì)有幾種不同的 \(\operatorname{lca}\) 帶權(quán)深度，離線。注意不保證 \(fa_i\le i\)。\(n\le 10^5,Q\le 5\times 10^5\)，500ms，512MB。

合法子區(qū)間計(jì)數(shù) \(\rightarrow\) 考慮有用點(diǎn)對(duì)

樹上有用點(diǎn)對(duì) \(\rightarrow\) 重剖，由輕子樹合并上來，有用點(diǎn)對(duì) \(O(n\log n)\) 對(duì)

問題轉(zhuǎn)化為給定 \(O(n\log n)\) 對(duì)帶權(quán)點(diǎn)對(duì)，求區(qū)間內(nèi)存在哪些權(quán)值。

靜態(tài)區(qū)間問題 \(\rightarrow\) 掃右維護(hù)左，轉(zhuǎn)為在線問題

給前綴放上一個(gè)顏色，求單點(diǎn)顏色數(shù)，樹狀數(shù)組即可。時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\log^2 n+Q\log n)\)。

P7881 [Ynoi2006] rmpq

二維平面，抽象信息類，半平面乘，單點(diǎn)查，強(qiáng)制在線。\(Q\le 10^5,x_i,y_i\le 10^9\)，操作次數(shù) \(2\times 10^7\)，2s，512MB。

無法 KD-Tree（值域過大且無法離線）。

很想離線（？）\(\rightarrow\) 根號(hào)重構(gòu)。

問題變成預(yù)處理 \(B\) 次修改后每個(gè)位置的答案。

發(fā)現(xiàn)易于用 \(O(k^2)\) 的時(shí)間合并兩個(gè)大小為 \(k\) 的子問題，所以遞歸兩個(gè)子問題就可以做到 \(O(B^2)\) 處理。

總時(shí)間復(fù)雜度 \(O(nB+{n^2\over B})=O(n\sqrt n)\)。

總結(jié)

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