發表于2019年Journal of Finance上的"Robust Measures of Earnings Surprises"一文，提出了一種對于盈利意外的測度，它在一些條件下會比現有的一致誤差CE（Census Error）測度表現更好，作者將其命名為FOM（Fraction Of Misses on the same side）。

該文從2015年開始就在學術會議上作報告，過去的題目曾為"When Everyone Misses on the Same Side: Debiased Earnings Surprises"。作者共有5位：世界銀行集團的Chin-Han Chiang，普林斯頓大學的戴薇（范劍青的學生），任職于普林斯頓大學和首都經濟貿易大學國際經濟管理學院的范劍青，任職于哥倫比亞大學和NBER的Harrison Hong，以及新加坡管理大學的涂俊。

1 模型

1.1 基本假設與FOM的計算

直接來看他們提出的模型。

假設真實的盈利（或是其他宏觀變量如通貨膨脹率、GDP等）為

$$A=e+{?}_A$$

其中$e$為無法觀測的市場預期，而${?}_A～\mathcal{N}(0,{\sigma }_A^2)$。由此可以定義市場意外為

$$S=A?e$$

假設某個分析師的預測為

$$F_i=\{\begin{array}{ll}e+{?}_i& w_0\\ e+b_i+{?}_i& w_1=1?w_0\end{array}$$

其中$?～\mathcal{N}(0,{\sigma }_F^2)$。在這里$b_i～\mathcal{N}(B,{\sigma }_b^2)$，$B$代表總的偏差水平。我們讓$B～\mathcal{N}({\mu }_B,{\sigma }_B^2)$，這樣$B$就可以隨不同的預測集變動。

分析師$i$的預測誤差為

$$U_i=A?F_i=S+Y_i$$

其中

$$Y_i～\{\begin{array}{ll}\mathcal{N}(0,{\sigma }_F^2)& w_0\\ \mathcal{N}(?b_i,{\sigma }_F^2)& w_1=1?w_0\end{array}$$

其中$b_i～\mathcal{N}(B,{\sigma }_b^2)$為以$B$的某個實現為條件的分布。

理想的盈利意外測度，是$U_i$的一種與無法觀測的$S$高度相關的函數：

$$f^{?}=\arg \underset{f}{\max }|\text{Cor}(f(U_1,\dots ,U_N),S)|$$

其實理想函數也就是

$$f^{?}(U)=E[S|U]=\frac{{\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }Sg(S,B,U)dSdB}{{\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }g(S,B,U)dSdB}$$

其中$g(S,B,U)$為概率密度函數：

$$\begin{array}{rl}g(S,B,U)=& C?(S;{\sigma }_A^2)?(?B+{\mu }_B;{\sigma }_B^2)\\ \times & \prod _{i=1}^N[w_0?(U_i?S);{\sigma }_F^2+w_1?(U_i?S+B;{\sigma }_F^2+{\sigma }_b^2)]\end{array}$$

傳統方法用的是一致預期誤差$CE=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{U}_i$，該文提出了新的測度FOM：
$$FOM=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\mathrm{sgn}(U_i)$$

在$N=1$時，它們的圖像（隨${\sigma }_B$或${\mu }_B$變動）如下：

1.2 FOM的性質

FOM的計算同樣很簡便，那么它到底好不好？可以用與$S$的相關系數和理想函數與$S$的相關系數之比來度量：

$$\underset{{\sigma }_B^2\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[FOM,S]}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[f^{?}(U),S]}$$

之所以用${\sigma }_B$而非${\mu }_B$，一方面是因為偏差是在正負兩側的，另一方面，當$N$很大時，相對于${\mu }_B$，${\sigma }_B$是偏差的很大的來源。

當然，對CE也可以用同樣的計算方式進行評估。

如果直接計算分子，可以發現
$$\underset{{\sigma }_B\to \infty }{\lim }\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[CE,S]=0$$

而

$$\underset{{\sigma }_B\to \infty }{\lim }\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[FOM,S]\ge \frac{2w_0}{\sqrt{2\pi (1+{\sigma }_F^2/{\sigma }_A^2)}}$$

如果只有一個分析師，即$N=1$時，測度指標會有下界
$$\underset{{\sigma }_B\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[FOM,S]}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[f^{?}(U),S]}\ge \sqrt{2/\pi }?w_0^{1/2}$$

而對于任意的分析師數量，有
$$\begin{array}{rl}& \underset{{\sigma }_B\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[FOM,S]}{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[f^{?}(U),S]}\\ \ge & \underset{{\sigma }_B\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[FOM,S]}{{\max }_h\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}[S,h(U,\mathcal{A})]}\\ =& \frac{2w_{0}E[Z\Phi (Z/r_F)]}{\sqrt{E[\frac{1}{1+r_F^2/|\mathcal{A}|}]}}\end{array}$$

其中$\mathcal{A}$為預測準確的分析師的子集，$r_F=\frac{{\sigma }_F}{{\sigma }_A}$為分析師預測誤差與盈利沖擊的標準差之比。

表1列出了一些下限。

2 數據

數據：從I/B/E/S中拿到分析師預期數據，關注1983-2015的fiscal year-end earnings變量FY1，從CRSP中拿到日頻的收益率、價格、在外發行股數數據，定義CE為真實FY1與一致預期做差，并用盈余公告日前20日價格做scale。其中一致預期用算術平均與中位數分別計算。

因變量有兩個：CAR（Cumulative Abnormal Returns）與POSTCAR（cumulative postannouncement returns），前者用盈利公示1天前到1天后共3天的時間窗口，后者用盈利公示后2天到126天的 時間窗口。

表2為描述性統計：

圖3為FOM的分布：

圖4為按不同分析師數量劃分的FOM分布：

圖5是“所有分析師都在一個方向上犯錯”的比例的時間序列：

3 實證

接下來是一些實證。表3和表4為分別用CAR和POSTCAR的傳統回歸：

表5為用國際股票作為樣本的情況：

表6為BIC difference statistics（$\Delta BIC$）和似然比檢驗（likelihood rator tests）的結果：

表7將分析師預期限制在公告日至少3個月/6個月前的結果：

表8為將樣本依照盈利持續性和DISP分組后的結果：

表9為將因變量換成預期修正（即相鄰兩個財年的中位數一致預期之差）的結果：

還可以尋找一組權重，將各分析師的預期加權，使得平方的一致誤差最小，結果在表10中：

參考資料

• Chiang, Chin-han, Wei Dai, Jianqing Fan, Harrison Hong, and Jun Tu. 2019. “Robust Measures of Earnings Surprises.” Journal of Finance 74 (2): 943-83.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的盈余意外的稳健度量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。