2019-03-11

函數(shù)是什么？

三、函數(shù)的定義

定義 設(shè) 與 是某一過(guò)程中的兩個(gè)變量,如果當(dāng)變量 在變化范圍 中任取一個(gè)數(shù)值時(shí),變量 按照一定的對(duì)應(yīng)規(guī)則,總有確定的數(shù)值和它相對(duì)應(yīng),則稱(chēng)變量 為變量 的函數(shù),記作 ,其中 稱(chēng)為自變量, 稱(chēng)為因變量, 稱(chēng)為對(duì)應(yīng)法則。

函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的函數(shù)值，記作 或 。

自變量 的變化范圍 稱(chēng)為函數(shù)的定義域, 函數(shù) 取值的全體稱(chēng)為函數(shù)的值域。

如，圓的面積 與它的半徑 之間的關(guān)系由公式 給定, 面積 與它的半徑 都是變量,當(dāng)半徑 在區(qū)間 內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí),由 就確定一個(gè)相應(yīng)的圓面積 的數(shù)值,因此面積 是它的半徑 的函數(shù)。

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三、函數(shù)的定義

定義 設(shè) 與 是某一過(guò)程中的兩個(gè)變量,如果當(dāng)變量 在變化范圍 中任取一個(gè)數(shù)值時(shí),變量 按照一定的對(duì)應(yīng)規(guī)則,總有確定的數(shù)值和它相對(duì)應(yīng),則稱(chēng)變量 為變量 的函數(shù),記作 ,其中 稱(chēng)為自變量, 稱(chēng)為因變量, 稱(chēng)為對(duì)應(yīng)法則。

函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的函數(shù)值，記作 或 。

自變量 的變化范圍 稱(chēng)為函數(shù)的定義域, 函數(shù) 取值的全體稱(chēng)為函數(shù)的值域。

如，圓的面積 與它的半徑 之間的關(guān)系由公式 給定, 面積 與它的半徑 都是變量,當(dāng)半徑 在區(qū)間 內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí),由 就確定一個(gè)相應(yīng)的圓面積 的數(shù)值,因此面積 是它的半徑 的函數(shù)。

又如， 中 都是變量,當(dāng)變量 在區(qū)間 內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí),變量 有兩個(gè)確定的值與 對(duì)應(yīng), 因此變量 是變量 的函數(shù)。

關(guān)于函數(shù)的定義做以下說(shuō)明:

1。

符號(hào)“ ”的意義

符號(hào)“ ”表示自變量 與函數(shù) 的某種對(duì)應(yīng)規(guī)則。

例如 ,它的對(duì)應(yīng)法則“ ”就是自變量的平方乘以2減去自變量的3倍加上1,不妨簡(jiǎn)化為 。

如，當(dāng) 時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 ;

同樣當(dāng) 時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 。

2。單值函數(shù)和多值函數(shù)

如果函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)任一自變量的值都只有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng),這個(gè)函數(shù)就稱(chēng)為單值函數(shù),如果有兩個(gè)或更多的值與之對(duì)應(yīng),就稱(chēng)為多值函數(shù)。

如舉例中的 為單值函數(shù), 為多值函數(shù)。

以后談到的函數(shù)如無(wú)特別說(shuō)明都是指單值函數(shù)。

3。確定函數(shù)的兩個(gè)要素——定義域、對(duì)應(yīng)法則。

所謂兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同。

如， 函數(shù) 與 不是相同的兩個(gè)函數(shù)。

事實(shí)上 的定義域?yàn)? ,

的定義域?yàn)? ,

由于兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不相同。

又如，函數(shù) 與 是相同的函數(shù)。

事實(shí)上， 的定義域?yàn)? ,對(duì)應(yīng)法則為: ,

的定義域?yàn)? ,對(duì)應(yīng)法則為: 。

由于兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同,只是自變量和因變量所選字母不同,所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)相同。

在求函數(shù)定義域時(shí),常常遇到下面幾種情況:

(1) 若函數(shù) 是多項(xiàng)式,則定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù);

(2) 若函數(shù) 是分式函數(shù),則要求分式的分母的表達(dá)式不為零。

(3) 若函數(shù) 是偶次根式函數(shù),則要求偶次根號(hào)下的表達(dá)式非負(fù)。

(4) 若函數(shù) 是對(duì)數(shù)函數(shù), 則要求對(duì)數(shù)中的真數(shù)表達(dá)式大于零。

(5) 若函數(shù) 是由幾部分代數(shù)式組成,則定義域是使這幾部分代數(shù)式都有意義的 值的全體。

例1 求 的定義域。

分析 由對(duì)數(shù)中的真數(shù)表達(dá)式大于零知， ,

由根式中的偶次根號(hào)下的表達(dá)式非負(fù)知， ,

由分式分母的表達(dá)式不為零知， ,

聯(lián)立求解即可。

解 應(yīng)使 ， 即 。 所以 ， 故定義域?yàn)? 。 。收起

總結(jié)

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