P5520 [yLOI2019] 青原櫻

我又來頹文化啦！

題目描述

從$n$個空位中選擇一些空位種$m$櫻花，要求每兩棵櫻花之間至少要有一個空位.

求合法種植數.

題目分析

題解本家

這不是五三水題嘛。。。

首先，看到這種“一個空位”的問題，第一想法就是把一棵櫻花和它后面的空位視為一組（或者一個數）.

另外我們可以發現，如果最后一個元素在n位置上時，那么是不用考慮它后面的那個空位的.

所以思路就出來了：分類討論.

第一，如果最后一個元素不在$n$位置上，那么此時相當于有$n?m$個空位，要插入$m$個元素，再加上這$m$個元素自身的排列，總共有$A_m^m{C}_{n?m}^m$種合法方案.

第二，如果最后一個元素在$n$位置上，那么此時相當于有$(n?1)?(m?1)=n?m$個空位，要插入$m?1$個元素，同樣加上他們自身的排列，總共有$A_m^m{C}_{n?m}^{m?1}$種方案.

另外，$A_m^m{C}_{n?m}^{m?1}=m?A_{n?m}^{m?1}$，$A_m^m{C}_{n?m}^m=A_{n?m}^m$，我們直接處理排列數即可.

求和，而我們知道$A_x^y+y?A_x^{y?1}=A_{x+1}^y$，這樣就可以一遍用$O(n)$求得最后的值.

_{問我算法？不就是某位老師在視頻里說的嗎？從中間某位開始算啊！}

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long//防止計算時溢出 using namespace std; ll type,n,m,mod,ans=1; int main(){scanf("%lld%lld%lld%lld",&type,&n,&m,&mod);for(ll i=n-2*m+2;i<=n-m+1;i++){ans=(ans*i)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0; }

題后反思

盡量把組合數化簡到最簡的形式，最好是一遍$O(n)$就可以算出來的一維組合數/排列數形式.

注意利用各個公式進行靈活的轉換.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5520 [yLOI2019] 青原樱（排列组合）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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