調和（級）數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上，第n個調和數是首n個正整數的倒數和，即

它也等于這些自然數的調和平均值的倒數的倍。它可以推廣到正整數的倒數的冪之和，即。

?

調和數的性質

根據定義，調和數滿足遞推關系

它也滿足恒等式

計算

對于第n項調和數，有以下公式

設:，由此得到

?

對于調和數，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為

由此得到

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

其中是第k項伯努利數。

?

由估算看來，調和數是發散的，即：?H_n?在n趨于無窮時沒有極限

很早就有數學家研究，比如中世紀后期的數學家Oresme在1360年就證明了這個級數是發散的。他的方法很簡單：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一個級數每一項對應的分數都小數調合級數中每一項，而且后面級數的括號中的數值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以后一個級數是趨向無窮大的，進而調合級數也是發散的。

?

廣義調和數

廣義調和數滿足

由此，我們得到

對于任意兩個正整數p和q，并且p＜q，我們有

微積分

對于每一個大于0的x，有

由此，得

對于每一個n，有

其他數列

根據定義，其他類似于調和數的數列有以下計算方法：

轉載于:https://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/4340140.html

總結

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