目錄$Delta$以下內容主要為《線性代數》的學習筆記

(Delta)以下內容主要為《線性代數》的學習筆記

按行列展開

一般來說，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡單得多，因此考慮用低階行列式來表示高階行列式。為此，我們引入余子式和代數余子式的概念。
相當于對行列式進行降階處理以方便運算

定義

余子式：
在(n)階行列式中，把((i, j))元(a_{ij})所在的第(i)行和第(j)列劃去后(相當于用1代替)，留下來的(n - 1)階行列式叫做((i, j))元的(a_{ij})的余子式，記做(M_{ij});

代數余子式：
記：

[A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}
]

則把(A_{ij})叫做((i, j))元(a_{ij})的代數余子式。

引理

一個(n)階行列式，如果其中第(i)行所有元素除((i, j))元(a_{ij})外都為零，那么這行列式等于(a_{ij})與它的代數余子式的乘積，即：

[D = A_{ij}$$.

####定理2
>**行列式按行(列)展開法則：**行列式等于它任意行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即：
$$ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}]

或

[D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}
]

推論：行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即：

[a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = 0,quad i
e j
]

或

[a_{1i}A_{1i} + a_{2i}A_{2i} + ... + a_{ni}A_{ni} = 0,quad i
e j
]

綜合定理2及其推論，可以得到有關代數余子式的重要性質：

[sum_{k = 1}^{n}a_{ki}A_{ki} =
egin{cases}
D, quad i = j\
0, quad i
e j
end{cases}]

或

[sum_{k = 1}^{n}a_{ik}A_{ik} =
egin{cases}
D, quad i = j\
0, quad i
e j
end{cases}]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的行列式(二)：余子式&代数余子式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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