算法如其名，就是用來找三元環的。

介紹

給出一張無向圖，問圖中有多少個三元組$\{x,y,z\}$，滿足圖中存在 $\{x?y,y?z,z?x\}$ 三條邊。

轉化

考慮將這張圖轉化為有向圖：對于一條無向邊 $x?y$，不妨設點 $x$ 的度大于點 $y$ 的度，那么就將這條無向邊變成 $x\to y$。假如兩點的度相同，就從編號大的往編號小的連邊。

這樣轉化后，這張圖一定是有向無環圖。

證明：

使用反證法，假設有一個環：$a\to b\to c\to a$，那么有（設 $x$ 的度為 $d_x$）：$d_a\ge d_b\ge d_c\ge d_a$，要使該不等式成立，當且僅當滿足 $d_a=d_b=d_c=d_a$。

設 $x$ 的編號為 $i{d}_x$，那么有：$i{d}_a>i{d}_b>i{d}_c>i{d}_a$，即 $i{d}_a>i{d}_a$，該柿子不成立，故假設不成立，證畢。

求解

步驟如下：

枚舉每一個點，對于當前的點，將它能到達的點做上標記

做完標記后，枚舉每個被做過標記的點，對于當前被做過標記的點，枚舉他能到達的點

假如這個能到達的點是被做過標記的，那么就找到了一個三元環，答案$+1$

正確性

轉化完后，每一個三元環會變成下面這樣的東西：

只有枚舉到紅點的時候，這個三元環才會被計算到，這就保證了不會重復計算并且不會漏算。

時間復雜度

考慮每一條邊被遍歷的次數：對于一條邊 $x\to y$，他被遍歷的次數為 $i{n}_x$。（$i{n}_x$表示 $x$ 的入度），那么總的時間復雜度就是每一條邊的 $i{n}_x$ 之和。

又可以發現，$i{n}_x$ 的上限就是 $\sqrt{m}$，因為要求每個連向 $x$ 的點的度都大于 $i{n}_x$，也就是說，有 $i{n}_x$ 個點的度大于 $i{n}_x$，這樣就至少需要 $i{n}_x^2$ 條邊，所以 $i{n}_x^2\le m?i{n}_x\le \sqrt{m}$。

例題

題目傳送門

顯然，題目中要求的四元組，也就是兩個有一條公共邊的三元環拼在一起，那么求出每條邊在多少個三元環中（設 $to{t}_i$ 表示第 $i$ 條邊在多少個三元環里），然后 ${\sum }_{i=1}^m{C}_{to{t}_i}^2$ 就是答案。

代碼如下：

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 300010 #define ll long longint n,m; struct edge{int y,next;}; edge e[maxn*4]; int len; int first[maxn]; void buildroad(int x,int y) {e[++len]=(edge){y,first[x]};first[x]=len; } struct node{int x,y;}; node edges[maxn*2]; int du[maxn],id[maxn],to[maxn],tot[maxn]; inline ll C(int x){return (ll)x*(x-1)/2ll;}int main() {while(~scanf("%d %d",&n,&m)){memset(du,0,sizeof(du));//記錄每個點的度的數組for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d %d",&edges[i].x,&edges[i].y),du[edges[i].x]++,du[edges[i].y]++;memset(first,0,sizeof(first));len=0;for(int i=1,x,y;i<=m;i++){x=edges[i].x,y=edges[i].y;if(x>y)swap(x,y);//讓x成為編號小的點if(du[x]>=du[y])buildroad(x,y);//度大的往小的連有向邊else buildroad(y,x);}memset(tot,0,sizeof(tot));//別忘了初始化各種數組memset(to,0,sizeof(to));//to[i]表示當前點到點i的邊是第幾條邊memset(id,0,sizeof(id));//id表示每個點的標記for(int i=1;i<=n;i++){int x=i;for(int j=first[x];j;j=e[j].next)//枚舉能到達的點，給他們大商標機id[e[j].y]=x,to[e[j].y]=j;//打標記，記錄tofor(int j=first[x];j;j=e[j].next)//再次遍歷所有有標記的點{for(int k=first[e[j].y];k;k=e[k].next)//遍歷有標記的點能到達的點if(id[e[k].y]==x)tot[j]++,tot[k]++,tot[to[e[k].y]]++;//假如能到達一個有標記的點，那么就找到了一個三元環，給這三條邊都打上標記}}ll ans=0;for(int i=1;i<=len;i++)//統計答案ans+=C(tot[i]);printf("%lld\n",ans);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三元环计数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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