2020年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目
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A題 爐溫曲線
在集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產(chǎn)過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要。目前，這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的。本題旨在通過機理模型來進行分析研究。

回焊爐內(nèi)部設(shè)置若干個小溫區(qū)，它們從功能上可分成4個大溫區(qū)：預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)（如圖1所示）。電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進入爐內(nèi)進行加熱焊接。

圖1 回焊爐截面示意圖

某回焊爐內(nèi)有11個小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域（如圖1），每個小溫區(qū)長度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙，爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長度均為25 cm。

回焊爐啟動后，爐內(nèi)空氣溫度會在短時間內(nèi)達到穩(wěn)定，此后，回焊爐方可進行焊接工作。爐前區(qū)域、爐后區(qū)域以及小溫區(qū)之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區(qū)的溫度有關(guān)，各溫區(qū)邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區(qū)溫度的影響。另外，生產(chǎn)車間的溫度保持在25oC。

在設(shè)定各溫區(qū)的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區(qū)域中心的溫度，稱之為爐溫曲線（即焊接區(qū)域中心溫度曲線）。附件是某次實驗中爐溫曲線的數(shù)據(jù)，各溫區(qū)設(shè)定的溫度分別為175oC（小溫區(qū)1-5）、195oC（小溫區(qū)6）、235oC（小溫區(qū)7）、255oC（小溫區(qū)8-9）及25oC（小溫區(qū)10-11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區(qū)域的厚度為0.15 mm。溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達到30oC時開始工作，電路板進入回焊爐開始計時。

實際生產(chǎn)時可以通過調(diào)節(jié)各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產(chǎn)品質(zhì)量。在上述實驗設(shè)定溫度的基礎(chǔ)上，各小溫區(qū)設(shè)定溫度可以進行±10oC范圍內(nèi)的調(diào)整。調(diào)整時要求小溫區(qū)1-5中的溫度保持一致，小溫區(qū)8~9中的溫度保持一致，小溫區(qū)10-11中的溫度保持25oC。傳送帶的過爐速度調(diào)節(jié)范圍為65-100 cm/min。
在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中，爐溫曲線應(yīng)滿足一定的要求，稱為制程界限（見表1）。

表1 制程界限

界限名稱 最低值 最高值 單位
溫度上升斜率 0 3 oC/s
溫度下降斜率 -3 0 oC/s
溫度上升過程中在150oC~190oC的時間 60 120 s
溫度大于217oC的時間 40 90 s
峰值溫度 240 250 oC

請你們團隊回答下列問題：
問題1 請對焊接區(qū)域的溫度變化規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型。假設(shè)傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173oC（小溫區(qū)1-5）、198oC（小溫區(qū)6）、230oC（小溫區(qū)7）和257oC（小溫區(qū)8-9），請給出焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，列出小溫區(qū)3、6、7中點及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度，畫出相應(yīng)的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區(qū)域中心的溫度存放在提供的result.csv中。

問題2 假設(shè)各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182oC（小溫區(qū)1-5）、203oC（小溫區(qū)6）、237oC（小溫區(qū)7）、254oC（小溫區(qū)8-9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度。

問題3 在焊接過程中，焊接區(qū)域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高。理想的爐溫曲線應(yīng)使超過217oC到峰值溫度所覆蓋的面積（圖2中陰影部分）最小。請確定在此要求下的最優(yōu)爐溫曲線，以及各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應(yīng)的面積。

圖2 爐溫曲線示意圖

問題4 在焊接過程中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217oC的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱（參見圖2）。請結(jié)合問題3，進一步給出最優(yōu)爐溫曲線，以及各溫區(qū)設(shè)定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應(yīng)的指標值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2020数学建模国赛（A）炉温曲线的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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