序貫概率比檢驗(Sequential probability ratio test，SPRT)

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什么是序貫概率比檢驗

數理統計學的一個分支，其名稱源出于亞伯拉罕·瓦爾德在1947年發表的一本同名著作，它研究的對象是所謂“序貫抽樣方案”，及如何用這種抽樣方案得到的樣本去作統計推斷。序貫抽樣方案是指在抽樣時，不事先規定總的抽樣個數(觀測或實驗次數),而是先抽少量樣本,根據其結果，再決定停止抽樣或繼續抽樣、抽多少，這樣下去，直至決定停止抽樣為止。反之，事先確定抽樣個數的那種抽樣方案，稱為固定抽樣方案。

例如，一個產品抽樣檢驗方案規定按批抽樣品20件，若其中不合格品件數不超過 3，則接收該批，否則拒收。在此，抽樣個數20是預定的，是固定抽樣。若方案規定為：第一批抽出3個，若全為不合格品，拒收該批,若其中不合格品件數為x1<3，則第二批再抽3-x1個,若全為不合格品，則拒收該批，若其中不合格品數為 x2<3-x1,則第三批再抽3-x1-x2個,這樣下去,直到抽滿20件或抽得 3個不合格品為止。這是一個序貫抽樣方案，其效果與前述固定抽樣方案相同，但抽樣個數平均講要節省些。此例中，抽樣個數是隨機的，但有一個不能超過的上限20。有的序貫抽樣方案，其可能抽樣個數無上限，例如，序貫概率比檢驗的抽樣個數就沒有上限。

H.F.道奇和 H.G.羅米格的二次抽樣方案(見抽樣檢驗)是較早的一個序貫抽樣方案。1945年,C.施坦針對方差未知時估計和檢驗正態分布的均值 μ(見數學期望)的問題,提出了一個二次抽樣方案。依此方案,在事先給定了l>0和00及0

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序貫概率比檢驗的要點

此法在亞伯拉罕·瓦爾德的1947年的著作中有系統介紹，

其要點如下：設在原假設H0和備擇假設H1之下，隨機變量x的概率密度函數或概率函數隨機變量都已知,且分別為p0(x)及p1(x),對x逐次觀測，第i次觀測的結果記為xi，稱比值為樣本x1, x2,…, xn的概率比。在固定抽樣方案之下，是先給定自然數n,對x進行n次觀測得x1,x2,…,xn，計算。

定出一常數C(其值取決于檢驗水平α),當λn≤C 時,接受原假設H0,否則拒絕H0。這樣,在λn的值與C很接近時,H0是否被接受的界限過于斷然,不大合理。瓦爾德將此修改為:指定兩個數A,B,A

若A

瓦爾德提供的近似公式是A=β/(1-α)，B=(1-β)/ α。他也給出了這種檢驗法的平均抽樣次數和功效函數(見假設檢驗)，并在1948年與美國統計學家J.沃爾弗維茨一起，證明了在一切兩種錯誤概率分別不超過α和β的檢驗類中，上述序貫概率比檢驗所需平均抽樣次數最少。瓦爾德在其著作中也考慮了復合檢驗的問題，有許多統計學者研究了這種檢驗。瓦爾德的上述開創性工作，引起了許多統計學者對序貫方法的注意，并繼續進行工作，從而使序貫分析形成為數理統計學的一個分支。

除了檢驗問題以外，序貫方法在其他方面也有不少進展，對一般的統計決策問題，在各次觀測結果相互獨立的情況下的序貫貝葉斯解的問題，在理論上已有較完整的結果。在點估計方面，對序貫的最小化最大估計的研究有了一些結果。在區間估計方面，關于斯坦的二次抽樣，正態均值及一般總體均值和線性模型參數的區間估計，有不少的工作。另外，在數理統計學中有一類在應用上重要的問題，叫選擇問題，它要求從若干個分布中挑選出一個在某種意義上的最優者。例如，從若干個具有不同均值的正態分布中，挑選出其均值最大者。關于這個問題也發展了一系列的序貫方法。

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總結

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